Читайте также:
|
1. Якщо (a, m) = 1 і δ – показник, до якого належить число а замодулем т, то серед степенів
1 = a 0, a, a 2, а 3,..., aδ –1
немає чисел, конгруентних між собою за модулем т.
Доведенн я. Припустимо супротивне. Нехай при деяких натуральних k і l, причому 0 ≤ k < l < δ, маємо
аl≡ аk (mod m).
Враховуючи, що (a, m) = 1, маємо далі
аl – k≡ 1 (mod m).
При цьому l – k < δ, що неможливо, оскільки δ є найменше з натуральних чисел, для яких справджується конгруенція aδ ≡ 1 (mod m).
Властивість доведено.
Наслідок. Якщо а – первісний корінь за модулем т, тобто δ = φ (m), то множина степенів
1 = a 0, a, a 2, a 3,... aφ (m)–1
є ЗСЛ за модулем т
Справді, у цій множині є φ (m) чисел. Усі вони взаємно прості з числом т і всі вони неконгруентні між собою за модулем т. Тим самим вони належать до різних класів за модулем т і утворюють ЗСЛ за модулем m. Якщо m = р (просте число), то (3) перетворюється в таку сукупність чисел:
1, а, a 2, a 3,..., ap –2 яка являє собою зведену систему лишків за модулем р.
2. Якщо δ = Рm (a), то
[ ak 1≡ ak 2(mod m)]< => [ k 1≡ k 2(mod δ)].
Доведення. Необхідність. За теоремою про ділення чисел з остачею маємо при діленні на δ
k 1= δq 1+ r 1 k 2= δq 2+ r 2, причому 0 ≤ r 1< δ, 0 ≤ r 2< δ.
Враховуючи, що
aδ ≡ 1 (mod m),
маємо
ak 1≡ aδq 1+ r 1(mod m) ≡ ar 1(mod m),
ak 2≡ aδq 2+ r 2(mod m) ≡ ar 2(mod m)
Отже,
[ ak 1≡ аk 2(mod m)] => [ ar 1≡ ar 2(mod m)].
Але при r 1, r 2< δ це може бути лише у випадку r 1= r 2. Таким чином,
при діленні на δ чисел k 1і k 2дістаємо рівні остачі. Це означає, що k 1≡ k 2(mod δ). Необхідність доведено.
Достатність. Оскільки k 1≡ k 2(mod δ), то k 1 = k 2+ δt. Враховуючи, що aδ ≡ 1 (mod m), дістаємо
аk 1 ≡ ak 2+δ t (mod m) ≡ ak 2(mod m), що й треба було довести.
Наслідок 1. Якщо число а належить до показника δ за модулем т, (ak ≡ 1 (mod m), то k ділиться на δ.
Справді, на основі 2
[ aδ ≡ 1 (mod m) /\ ak ≡ 1 (mod m)] => [ aδ ≡ ak (mod m)] => [ k ≡ δ (mod δ)] => [ k ≡ 0 (mod δ)], тобто k ділиться на δ.
Наслідок 2. Показник δ, до якого належить число а за модулем т, є дільником числа φ (т).
Справді, [ aφ (m)≡ 1 (mod m) /\ аδ≡ 1(mod m)] => [ aφ (m)= aδ (mod m)] => [ φ (m) ≡ δ (mod δ)] => [ φ (т) ≡ 0 (mod δ)], тобто φ (m) ділиться на δ, що й треба було довести, Цей наслідок дає можливість спростити знаходження показника δ, до якого належить число а за модулем т.
Приклад. Знайти Р20(7).
Оскільки φ (20) = 8, то для знаходження δ треба дослідити тільки степені
71, 72, 74, 78, показники яких е дільниками числа 8 = φ (20). Встановлюємо, що δ = Р20(7) = 4.
Висновки:
В роботі розглянуто цікавий і важливий розділ теорії чисел – теорію конгруенцій,адже саме цей розділ є дуже цікавим та дає змогу вирішувати багато видів рівнянь нестандартним методом та доводити теореми.
Сформульовані основні означення, теореми та наведені їх доведення. Запропоновано нестандартний метод розв’язку діамантових рівнянь використовуючи теорію подільності чисел(конгруентності).
Також особливу увагу приділено застосуванню теорії конгруенцій. Саме це надає можливість подальшої розробки данної теми.
Список використаної літератури:
1. Архипов, Садовничий, Чубариков. «Лекции по математическому анализу»., Учебник.анализ., 1999. - 635 стр
2. Виосагмир И.А. «Высшая математика для чайников». Предел функции., 2011. - 95 стр.
3. Шуликовский В. И. “Тензорные методы в теории конгруэнции”, 1952.
4. Фиников С.П. «Теория конгруэнций», 1950. частина 1
http://mi.mathnet.ru/rus/uzku/v112/i10/p57
Дата добавления: 2014-12-20; просмотров: 39 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |