Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Частные производные

Читайте также:
  1. Более частные способы выражения ГЗ
  2. Вопрос19. Производные основных элементарных функций.
  3. ГАЛОГЕНЫ И ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ.
  4. Дифференциальные уравнения. Общие и частные решения.
  5. Используя общие формулы простой и взвешенной средних при разных показателях степени m, получаем частные формулы каждого вида, которые будут далее подробно рассмотрены.
  6. Карбоновые кислоты и их производные.
  7. КОЖА И ЕЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
  8. Коренные-ельники, производные-сосняки.
  9. Модуль 4. Частные технологии социальной работы: технологии работы с различными категориями населения и в различных сферах жизнедеятельности
  10. Назовите вспомогательные элементы сустава, производные хряща

Рассмотрим функцию z=f(x,y), M0(x0,y0) – рассматриваемая точка.

Дадим аргументу х0 приращение : х0+Dх, получим точку M10+Dх,у0), вычислим разность значений функции в точкеM0: Dхz = f(M1)-f(M0) = f(x0+Dx,y0) - f(x0,y0) - частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х0.

Определение 8. Частной производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю, то есть частной производной по x функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) называется предел

,

если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:

; ; .

Частная производная по x есть обычная производная от функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.

Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):

=

 

.

 

В пространстве XYZ условие y = y0 описывает плоскость P, перпендикулярную оси OY и пересекающую эту ось в точке y0. Плоскость P пересекается с графиком функции z = f(x,y), вдоль некоторой линии L, как показано на рисунке 3. Тангенс угла между плоскостью XOY и касательной к линии L в точке с координатами x0,y0 равен частной производной по xфункции z = f(x,y)в этой точке. В этом состоит геометрический смысл частной производной.

Аналогичное заключение можно сделать относительно частной производной по y.

Если частные производные функции z = f(x,y) существуют на некотором множестве, а точка, в которой вычисляются частные производные несущественна, то пользуются более короткими обозначениями:

.

Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные производные по x и по y. Они называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка и обозначаются:

zxx¢¢, zyy¢¢, zxy¢¢ или .

Согласно определению:

; .

Последняя частная производная второго порядка называется смешанной.

А зависит ли смешанная частная производная второго порядка от того в какой последовательности берутся переменные по которым вычисляется производная. Ответить однозначно на этот вопрос нельзя, так как смешанные частные производныеравны будут только в том случае, если они непрерывны, о чем и говорит следующая теорема.

Теорема 1. Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они не зависят от того в какой последовательности вычислялись частные производные.

В остальных же случаях смешанные производные равны не будут.

 


Дата добавления: 2014-12-20; просмотров: 11 | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2018 год. (0.007 сек.)