Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Экстремумы функции двух переменных

Читайте также:
  1. B.1 Арифметические функции
  2. B.2 Тригонометрические функции
  3. Cудeбныe функции князя и вeчe
  4. I. Дифференциал функции.
  5. I. Правосознание: понятие, структура, функции и виды.
  6. I. Сущность, формы, функции исторического знания.
  7. II. Правовая культура: понятие, функции и виды.
  8. II. Функции Аппарата Правительства
  9. II. ФУНКЦИИ ОРГАНОВ ВОЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ
  10. II. Функции школьной одежды

Определение 10. Точка M0(x0,y0) является точкой максимума (минимума) функции z = f(x,y), если найдется такая окрестность точки M0, что для всех точек M(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)< f(x0,y0) ( f(x,y)>f(x0,y0)). (Рис. 5 и Рис. 6).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

 

Рис. 5

 

 

Рис. 6

 

Сформулируем необходимое условие экстремума.

Теорема 2. Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.

Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции, имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области) надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю.

Там, где выполняется необходимое условие, экстремума, может и не быть.

Пример:

z = xy; zx¢ = y; zy¢ = x; zx¢(0,0) = 0; zy¢(0,0) = 0.

Обе частные производные в точке (0,0) обращаются в 0. Однако точка (0,0) не является точкой экстремума, так как в ней самой z = 0, а в любой её окрестности есть точки, где z(x,y) > 0 (это точки, лежащие внутри первого и третьего координатных углов), и есть точки, где z(x,y) < 0 (это точки, лежащие внутри второго и четвертого координатных углов).

Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума.

Теорема 3. Пусть zx¢(x0,y0) = 0 и zy¢(x0,y0) = 0, а вторые частные производные функции z непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0). Введем обозначения: A = zxx¢¢(x0,y0); B = zxy¢¢(x0,y0); C = zyy¢¢(x0,y0); D = AC - B2.

Тогда, если D < 0, то в точке (x0,y0) экстремума нет.

Если D > 0, то в точке (x0,y0) экстремум функции z, причем если A > 0, то минимум, а если A < 0, то максимум.

Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.

Исследование функции двух переменных на экстремум сводится к следующему алгоритму:

1. Найти первые частные производные: .

2. Найти стационарные точки, т. е. точки, в которых и

3. Найти вторые частные производные

4. Вычислить значения вторых производных в стационарных точках

5. Для каждой стационарной точки найти значение D, и сделать выводы на основании теоремы 3.


Дата добавления: 2014-12-20; просмотров: 12 | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2017 год. (0.01 сек.)