Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Непрерывность и ограниченность функции

Читайте также:
  1. B.1 Арифметические функции
  2. B.2 Тригонометрические функции
  3. Cудeбныe функции князя и вeчe
  4. I. Дифференциал функции.
  5. I. Правосознание: понятие, структура, функции и виды.
  6. I. Сущность, формы, функции исторического знания.
  7. II. Правовая культура: понятие, функции и виды.
  8. II. Функции Аппарата Правительства
  9. II. ФУНКЦИИ ОРГАНОВ ВОЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ
  10. II. Функции школьной одежды

Установим связь между непрерывностью и ограниченностью функции в точке. Имеет место следующая теорема:

Теорема 4. Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве, то она ограничена на этом множестве.

Доказательство. Допустим, что существует функция f непрерывная на компактном множестве Е, но не являющаяся ограниченной на этом множестве. Тогда для любого n принадлежащего множеству N, существует последовательность точек Pn принадлежащих множеству Е, для которых выполняется условие: |f(Pn)|>n. Из последовательности (Pn) точек множества E выделим подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке P0 из множества Е. Но теперь имеем:

, при , при

ввиду непрерывности f в точке P0. Эти два предельных результата несовместимы, значит наше предположение о неограниченности функции f на множестве Е – не верно, что и доказывает данную теорему.

 




Дата добавления: 2014-12-20; просмотров: 66 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав