Читайте также:
|
|
Рассмотрим простейшую один раз статически неопределимую балку (рис. 6.46).
Рис. 6.46
Прогиб балки над опорой С равен нулю и его можно, в силу принципа независимости действия сил, представить как сумму перемещений от распределенной нагрузки и сосредоточенной силы :
Используя известные решения, имеем:
Следовательно,
откуда
Из уравнений равновесия:
находим опорные реакции
В поперечном сечении
Рис. 6.47
Экстремальный момент возникает в сечении с координатой , которая находится из условия:
откуда Максимальный момент
Он меньше, чем момент над средним сечением при :
На рис. 6.47 построены эпюры .
Расчет на прочность простейших статически неопределимых балок методом допускаемых нагрузок
Рассмотрим простейшую статически неопределимую балку (рис. 6.48, а).
Рис. 6.48
Расчет на прочность по допускаемым напряжениям состоит в том, чтобы найти и потребовать . Для этого сначала необходимо раскрыть статическую неопределимость задачи. На рис. 6.48, б изображена эквивалентная балка, в которой момент m должен быть подобран так, чтобы угол поворота в опоре А обращался в нуль как и в исходной схеме балки (рис. 6.48, а).
Вычислим угол поворота в опоре А:
откуда находим:
Максимальный момент возникает в защемлении (рис. 6.48, в):
Таким образом, условие прочности по допускаемым напряжениям (или расчетному сопротивлению) дает:
откуда
Предельная нагрузка упругого состояния, при которой впервые в балке возникает пластическая деформация, равна:
Первый пластический шарнир образуется в защемлении. В этом пластическом шарнире . Однако балка будет испытывать стеснённую пластическую деформацию, пока в середине пролета под силой Р момент также не будет равным и балка превратится в механизм (рис. 6.48, г). Для предельного состояния имеем уравнения равновесия:
откуда следует
Допускаемое значение внешней нагрузки:
Сравнивая и либо и получим, что их отношение:
Статическая неопределимость задачи повышает допустимую нагрузку на 12,5%. Для балки прямоугольного сечения . В случае прямоугольника Для данной задачи обнаруживается резерв прочности в 69% по сравнению с расчетом по допускаемым напряжениям.
В рассматриваемом примере пластические шарниры образуются в за- щемлении и в сечении под сосредоточенной силой. В случае распределенной нагрузки указать сразу сечения, где возникнут пластические шарниры, не всегда удается. Рассмотрим простейшуюдвухпролетную статически неопределимую балку (рис. 6.49). Выше эта задача была решена для случая упругого поведения балки и построена эпюра моментов (рис. 6.47).
Рис. 6.49
Момент в среднем сечении, при котором в крайних волокнах возникают пластические деформации:
откуда соответствующая предельная нагрузка равна:
Рассмотрим предельное состояние балки. Первый пластический шарнир образуется над средней опорой. Два других - в сечениях, строго говоря, не совпадающих с сечениями, где действуют максимальные моменты. Обозначим расстояние от левой опоры до первого шарнира в пролете через . Тогда уравнение равновесия балки левее первого и второго шарниров будет иметь вид:
откуда после исключения следует:
Разрушающая предельная нагрузка оказывается зависящей от величиины , т.е. местоположения пластического шарнира в пролете. Дифференцируя данное выражение для по и приравнивая производную нулю, получим:
откуда
Так как , то перед радикалом следует сохранить знак плюс. Тогда В результате получим:
Сравнивая выражения для и , находим:
Следовательно, в данной задаче статическая неопределимость повышает допустимую нагрузку на 45,7%. Если балка имеет прямоугольное сечение, то . Поэтому в данной задаче полное увеличение допускаемой нагрузки составляет т.е. 118,6%. Если заменить в каждом из пролетов распределенную нагрузку q их равнодействующими приложенными в их середине, т.е. при , то получим:
Величина
что отличается от точного решения всего на 2,94%. Для прямоугольного сечения получаем k = 2,25 вместо 2,186.
Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 68 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |