Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Көп айнымалылы функциялар үшін Тейлор формуласы.

Читайте также:
  1. C) жеке командалар немесе команда топтары көп рет қайталанатын болса
  2. F. Көптеген рискілердің болуымен байланысты
  3. G)Республика Конституциясын және заңдарын орындау үшін
  4. Microsoft Excel программасы. Кестелер. Автотолтыру. Функцияларды пайдаланып есептеулер.
  5. WWW –сервердің функциялары
  6. Айқындалмаған функциялар. Мысалдар.
  7. Аппараттық терминалдарды конфигурациялау. Терминал драйверінің арнайы символдары мен функциялары.
  8. Аржы функциялары, қаржы бойынша екі концепцияның мазмұны
  9. Арым-қатынастың функциялары.
  10. Бап. Оңалту немесе банкроттық рәсiмiн қолдану үшін сотқа жүгіну негiздерi

f(x) E ашық жиынында анықталып, f(x) кірістіруін қанағаттандырсын, яғни Е жиынының әрбір нүктесінде f(x) функциясының реті s–тен аспайтын барлық мүмкін дербес туындылары бар және үзіліссіз болсын. a=( және x=() E нүктелерін жалғайтын кесінді Е жиынында толық жатсын, яғни - (i=1,2,…,n), h=() үшін t [0,1] болғанда a+th==() болсын. Онда [0,1] сегментінде

f(a+th)=f( (1)

күрделі функциясы анықталған болады. f болғандықтан кірістіруі орындалады, яғни бір айнымалы функциясы [0,1] сегментінде s рет үзіліссіз дифференциалданады, сол себептен (1) функциясы үшін болғандағы ( (2)-теңдігі орындалады. Сонымен бірге,(1) бойынша , (2) теңдігінде деп алып, бұл жағдайда 1 болатынын ескере отырып,

f( -f()=f( = + (3)

теңдігіне келеміз. Егер (3) теңдігінде көмекші функциясынан бастапқы f функциясына толық көшсек, онда солай түрлендірілген (3) теңдігі көп айнымалылы Тейлор формуласы деп аталады.

16. Көп айнымалылы функцияның экстремумы. n=2 жағдайындағы экстремум жеткілікті шарты.

Экстремум анықтамасы. сандық функциясы жиынында анықталсын. Егер, біріншіден, а нүктесі Е жиынының ішкі нүктесі болса, екіншіден кірістіруі орындалатындай қайсыбір δ оң саны мен әрбір үшін ƒ(х) ≤ ƒ(а) (ƒ(х) ≥ƒ(а)) теңсіздігі орындалса, онда а нүктесін ƒ(х) функциясы локальді максимум (локальді минимум) мәнін қабылдайтын нүкте, не қысқаша алокальді максимум (локальді минимум) нүктесі деп атайды. Локальді максимум мен локальді минимумді локальді экстремум деп атайды.

Экстремумның жеткілікті шарты. Теорема. Екі айнымалы сандық f(х,у) функциясы (а, b) нүктесінің қайсыбір 0-маңайында анықталып, сол маңайда

дербес туындылары бар және үзіліссіз болып,сол нүктенің өзінде локальді экстремумның қажетті шарты орындалсын:

Мынадай белгілеулер енгізейік:

Онда:1)егер 0 болса,онда(а,в) локальді экстремум нүктесі болып,А 0 болғанда локальді қатаң минимум,А 0 болған да локальді қатаң максимум нүктесі болады;2)егер 0 болса,онда (а,в) нүктесі локальді экстремум нүктесі емес;3)егер =0 болса,онда (а,в) нүктесі туралы накты ештене айта aлмаймыз.

Дәлелдеуі: f(х,у) функциясы (а,в) нүктесінде локальді экстремумге зерттеу үшін сол нүктенің маңайында f(х,у)- f(а,в) айырымының таңбасын анықтау керек.Сондықтан,сол айырымды қалдық мүшесі Лагранж берген түрде болатын Тейлор формуласы арқылы жіктейік. F-ке қойылған шарт бойынша (t)=f(a+t(x-a),b+t(y-b)) күрделі функциясы [0,1] сегментінде екі рет үзіліссіз дифференциалданады,ал

/(t)

//(t)

Болғандықтан,бір айнымалы жағдайындығы Тейлор формуласы бойынша х пен у-ке тәуелді қайсы бір 0 1 саны үшін

Болады, (2) және

А(x,y)=

B(x,y)= (6)

C(x,y)=

Белгілеулері мен (1) теңдіктерін қолдансақ, (3)былай көшіріледі:

Екінші ретті дербес туындылар үзіліссіз болғандықтан, (4)юойынша

А(x,y) 0, В(x,y) 0, С(x,y) 0((х,у) (а,в)) (6)

Сөйтіп,бар мәселе (5) теңдігінің оң жағындағы өрнектің таңбасын зерттеу мәселесіне келтірілді.(5)теңдігінде

Ауыстыруларын жасап,

Теңдігіне келеміз.

Енді екі айнымалы квадраттық форма деп аталатын Q(u,v)=Au2+2Cuv+Bv2 фнкциясын жеке қарастырайық.Мұнда А 0 деп есептеп, Au2+2Cuv=A[u2+2 uv+( v)2]-A()2 =A[u+ v]2 - v2

Тепе-теңдігін пайдаланып,

Q(u,v)= A[u+ v]2+ [B- ]v2= A[u+ v]2+ v2 (9)

Тепе-теңдігіне келеміз,өйткені (2) бойынша В- = .Бұдан келесі лемма шығады

Лемма. Барлық u2+v2 0 теңсіздігін қанағаттандыратын u мен v сандары үшін Q(u,v) 0 болуы үшін

Теңсіздіктері орындалы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі. Жеткіліктілігі. (9) теңсіздіктері орындалсын.Онда v 0 болғанда барлық u үшін Q(u,v) v2 0 болады,ал v=0 болғанда u 0, демек Q(u,0) = Au2 0 яғни u2+ v2 0 болғанда Q(u,v) 0 болады.

 

 




Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 70 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав