Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Шартты экстремумды локальді экстремумға келтіру.

Теорема. 1) сандық ф-ры ашық жиынында ан-п ж/е олардың үзіліссіз дербес туындылары бар болсын. ; 2) шешімі болып, 3) мынадай анықтауыш

онда а нүктесі үшін сандары мен

болатын нүктесі (3) теңдіктері орындалғанда ғана (1) системасының шешімі болады.

Бұдан () нүктесі (n+m) айнымалылы функциясының (1) байланыс теңдеулер системасы б/ша шартты шартты экстремум нүктесі болуы үшін () нүктесі айнымалылы

функциясының локальді экстремум нүктесі болуы қажетті және жеткілікті.

Әуелі а нүктесі (1) системасының барлық шешімдерінен құрылған F жиынының шектік нүктесі екендігін көрсетейік. (4) функциялары нүктесінде үзіліссіз болып,

(7)

теңдіктері орындалады, демек кез келген бойынша әрбір j=1,…,n үшін болған сайын әрбір i=1,…,m үшін болатындай >0 саны табылады. Сондықтан 0< теңсіздігін қанағаттандыратын саны арқылы құрылған нүктесі (5) бойынша F жиынының элементі болады, а нүктесіне тең емес а-ның –маңайында жатады: , демек, сонымен қатар болғандықтан болады. Бұның бәрінен а нүктесі F жиынының шектік нүктесі екені шығады.

Енді а шартты экстремум нүктесі болсын. Онда белгілі бір оң сандары үшін x шарттары орындалған сайын f(x) болады. Енді j=1,…,n үшін үшін деп алып, а нүктесінің маңайын қарастырайық. Онда кірістіруі орындалып (5) бойынша жиынында жатқан (1) теңдеулер системасының барлық шешімдері барлық ( бойынша анықталып, ( түрінде болады да, бұлардан басқа бірде-бір шешім жоқ. Осыған қоса кірістіруі орындалады, демек, (6) бойынша анықталған күрделі фнукциясы үшін нүктесінің U маңайында жатқан әрбір ( нүктесі үшін = яғни нүктесі функциясы үшін локальді максимум нүктесі болады.

Кері, нүктесі (6) бойынша анықталған функциясы үшін локальді максимум нүктесі болсын. Онда белгілі бір оң сандары мен әрбір j=1,…,n үшін болған сайын болады. Енді деп алсақ, онда кез келген нүктесі үшін алғашқы n координатасы болып, Т жиынында жататын (1) теңдеулер системасының жалғыз ғана шешімі бар – ол нүктесі. Сол себептен, параллелепипедінде жатқан (1) теңдеулерлер системасының шешімдері үшін f( болады, өйткені үшін міндетті түрде (4) теңдіктері орындалады. Сонымен а нүктесі f функциясы үшін (1) теңдеулер системасы бойынша шартты экстремум нүктесі екені дәлелденді.