Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве

Читайте также:
  1. Amp;C) взаимоотношения организмов между собой и с окружающей средой
  2. C) площади параллелограмма, построенного на этих векторах
  3. C. Прямая и плоскость в пространстве
  4. D) удвоенной площади треугольника, построенного на этих векторах
  5. D) Факт взаимной неприязни между потерпевшим и его родственником.
  6. D. Между средним и промежуточным мозгом.
  7. ETerra: Вы сделали выбор между музыкой и предпринимательством в пользу предпринимательства?
  8. I. Современный мир и международная деятельность РСМ.
  9. IBM получила первое в мире изображение отдельных связей между атомами углерода
  10. II. Приоритеты международной деятельности РСМ

 

Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется число .

 

Имея в виду обозначение, длину называют также модулем вектора. Рассматривается арифметическое значение квадратного корня, которое определено для любого вектора из-за неотрицательности подкоренного выражения (аксиома 4). Поэтому каждый вектор имеет положительную длину, за исключением нулевого, длина которого равна нулю: .

 

Углом между ненулевыми векторами и евклидова пространства называется число

 

то есть и

 

Представив неравенство Коши-Буняковского (1) в виде можно сделать вывод, что абсолютное значение выражения не превосходит единицы, т.е. величина угла определена для любой пары ненулевых векторов. Заметим, что угол между коллинеарными векторами равен нулю или .

 

Длина вектора и угол между векторами называются основными метрическими понятиями.

 

Из неравенства Коши-Буняковского (1) следует неравенство треугольника:

 

 

Докажем последнее неравенство. Применяя оценку , получаем

 

 

то есть .

 

 

Пример

Даны векторы евклидовых пространств:

а) — элементы пространства со скалярным произведением (3):

;

б) — элементы пространства со скалярным произведением (2):

в) — элементы пространства со скалярным произведением (4):

.

г) — элементы пространства со скалярным произведением (5):

;

д) — элементы пространства со скалярным произведением (6):


В каждом пространстве найти длины двух данных векторов и угол между ними.

 

 

Решение.

а) Находим скалярные произведения:

Следовательно, .

б) Находим скалярные произведения:

 

 

Следовательно, .

 

в) Находим скалярные произведения:

 

 

Следовательно, .

 

г) Находим скалярные произведения:

 

 

Следовательно, .

 

д) Находим скалярные произведения:

 

 

Следовательно, .

 

 




Дата добавления: 2015-01-07; просмотров: 28 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав