Читайте также:
|
|
Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется число .
Имея в виду обозначение, длину называют также модулем вектора. Рассматривается арифметическое значение квадратного корня, которое определено для любого вектора из-за неотрицательности подкоренного выражения (аксиома 4). Поэтому каждый вектор имеет положительную длину, за исключением нулевого, длина которого равна нулю: .
Углом между ненулевыми векторами и евклидова пространства называется число
то есть и
Представив неравенство Коши-Буняковского (1) в виде можно сделать вывод, что абсолютное значение выражения не превосходит единицы, т.е. величина угла определена для любой пары ненулевых векторов. Заметим, что угол между коллинеарными векторами равен нулю или .
Длина вектора и угол между векторами называются основными метрическими понятиями.
Из неравенства Коши-Буняковского (1) следует неравенство треугольника:
Докажем последнее неравенство. Применяя оценку , получаем
то есть .
Пример
Даны векторы евклидовых пространств:
а) — элементы пространства со скалярным произведением (3):
;
б) — элементы пространства со скалярным произведением (2):
в) — элементы пространства со скалярным произведением (4):
.
г) — элементы пространства со скалярным произведением (5):
;
д) — элементы пространства со скалярным произведением (6):
В каждом пространстве найти длины двух данных векторов и угол между ними.
Решение.
а) Находим скалярные произведения:
Следовательно, .
б) Находим скалярные произведения:
Следовательно, .
в) Находим скалярные произведения:
Следовательно, .
г) Находим скалярные произведения:
Следовательно, .
д) Находим скалярные произведения:
Следовательно, .
Дата добавления: 2015-01-07; просмотров: 28 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |