Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Пример1.

Пусть имеется следующее распределение 200 проб нити по крепости (графы 1 и 2 таблицы).

Исходя из гипотезы о нормальном распределении результатов испытаний необходимо выравнять ряд по кривой нормального распределения (т.е. рассчитать теоретические частоты) и оценить близость эмпирических и теоретических частот с помощью критериев согласия: Пирсона (c²), Романовского и Колмогорова (l).

Крепость нити, г	Число проб	Середина интервала			j(t)	154*j(t)» f ‘
120 – 130			-36,4	-2,80	0,008
130 – 140			-26,4	-2,03	0,051
140 – 150			-16,4	-1,26	0,180
150 – 160			-6,4	-0,49	0,354
160 – 170			3,6	0,28	0,384
170 – 180			13,6	1,05	0,230
180 – 190			23,6	1,82	0,076
190 – 200			33,6	2,58	0,014
Итого		-	-	-	-

Для нахождения теоретических частот используем формулу:

, или

где - нормированные отклонения от средней, т.е. и s - основные параметры кривой нормального распределения.

С них и начнем свои расчеты. Опуская вычисления, запишем результаты:

1) = 161,4;

2) s = 13.

Дальнейшие расчеты таковы:

3) находим отклонения отдельных вариантов от средней (графа 4);

4) делим каждое отклонение на s, т.е. находим нормированные отклонения (графа 5);

5) зная t, находим по таблицам j(t) (графа 6);

6) рассчитаем постоянный множитель const = Nh/s. В нашем примере const = 200*10/13 = 154;

7) умножая последовательно 154 на j(t) и округляя результаты до целых чисел, находим теоретические частоты (графа 7).

Как видно из таблицы, теоретические частоты (f ^‘), близки к эмпирическим (f), хотя отдельные расхождения имеют место.

Для суждения о случайности или существенности этих расхождений используем ряд критериев согласия:

1. Критерий Пирсона:

Расчет этого критерия рассмотрен в таблице:

В рассматриваемом примере ряд имеет 8 групп (классов) вариантов, следовательно, и 8 групп частот. Поэтому число степеней свободы для последних (при выравнивании по кривой нормального распределения) k = 8 – 3 = 5. Примем наиболее часто используемый уровень значимости a = 0,05 и обратимся к таблицам («Значения c² – критерия Пирсона» при различных значениях уровня значимости (0,05; 0,01 и т.д.)).

По таблицам значений c²- критерия Пирсона для степеней свободы k = 5 и уровня значимости a = 0,05 определяем, что c²_табл.= 11,07. Так как полученное в задаче фактическое значение c²_факт.= 0,71, т.е. меньше табличного, то, следовательно, можно считать случайными расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами и выдвинутая гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному принимается.

2. Применим критерий Романовского:

Поскольку 1,4< 3, то можно считать расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами случайными.

3. Попробуем проверить нашу гипотезу с помощью критерия Колмогорова (). Для этого запишем накопленные частоты эмпирического и теоретического распределений и найдем максимальный разрыв между ними:

Максимальный разрыв D = 2, поэтому =

По таблицам значений функции P(l) находим для l = 0,2, что Р = 1,000. Следовательно, с вероятностью 100% можно полагать, что расхождения между f и f ^‘ носят случайный характер, поэтому гипотезу о характере распределения следует принять.

П ример 2.

В течение рабочей недели производилось наблюдение за работой 50 станков и регистрировались неисправности, требовавшие остановки станков для их регулировки. Результаты наблюдений следующие:

Требуется:

1) вычислить вероятности и теоретические частоты числа неисправностей, считая, что распределение последних подчиняется закону Пуассона;

1) оценить близость эмпирических и теоретических частот с помощью критериев Пирсона, Романовского и Колмогорова.

Решение:

Так как вариационный ряд представляет собой распределение по дискретному признаку, где по мере увеличения значений признака х частоты резко уменьшаются, то выдвигаем гипотезу о близости данного распределения к распределению Пуассона и производим выравнивание ряда распределения в соответствии с этой гипотезой. Теоретические частоты при выравнивании эмпирических данных определяем по формуле: f’=N*P_x,

где f ^’- теоретические частоты;

– общее число единиц ряда, в нашем примере N=50

Р_х – вероятность наступления отдельных значений х, которая определяется по формуле: ,

где – средняя арифметическая ряда.

Следовательно, на основе данных исходной таблицы получим:

а) Среднее число неисправностей:

б) Находим по таблицам значение =0,2466≈ 0,247.

в) Подставляя в формулу значения = 0,1,2,3,4,5 получаем вероятности числа неисправностей от 0 до 5. Значения P_x заносим в таблицу (смотри ниже).

г) Затем находим теоретические частоты ряда распределения :

Для х=0 получаем f’=50* 0,247=14,56≈15,

Для х=1 получаем f’=50* 0,345=21,84≈22 и т.д. (расчет представлен в нижестоящей таблице)

Значения и (округленные до целого числа) показаны в приводимой ниже таблице:

	(теоретические частоты)= 50
0,247	12
0,345	17
0,242	12
0,113	6
0,040	2
0,011	1
Итого	50

После выравнивания ряда, т.е. нахождения теоретических частот, необходимо проверить, случайны или существенны расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами, и тем самым проверить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о близости исходного распределения к распределению Пуассона.

Для оценки близости эмпирических и теоретических частот воспользуемся критериями Пирсона, Романовского и Колмогорова.

1) Критерий Пирсона: .

Все расчеты показаны в таблице:

	f	f ‘	f - f ‘	(f - f ‘ )2	(f - f ‘ )2/f ‘
0	14	12	2	4	0.33
1	16	17	-1	1	0.06
2	10	12	-2	4	0.33
3	7	6	1	1	0.17
4	2	2	0	0	0
5	1	1	0	0	0
Итого	-	-	-	-	0,89

Фактическое значение c² = 0,89 сравниваем с критическим, определяемым по специальным таблицам (приложение 2) в зависимости от принимаемого уровня значимости и числа степеней свободы.

Уровень значимости (a) обычно принимается равным 5 % (a=0,05).

Число степеней свободы (k) рассчитывается: k = m – 1 – b,

Где m – число групп в ряду распределения; b - число параметров эмпирического распределения, использованных для нахождения теоретических частот, для закона Пуассона b = 1 (а= ), следовательно k =6-1-1=4. Таким образом определяем критическое табличное значение (см. приложение 2 для и k = 4).

Так как фактическое c²=0,89 оказывается меньше табличного (критического) , то расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами можно считать случайными, т.е. гипотезу о близости фактического распределения к распределению Пуассона принимаем.

2) Применим критерий Романовского: = .

Так как с < 3, то расхождения между фактическими и теоретическими частотами считаем случайными, гипотезу о распределении Пуассона принимаем.

3) По критерию Колмогорова получаем: .

Расчет величины D представлен в таблице (см.ниже).Следовательно найдем значение критерия:

Накопленные частоты
Эмпирические (s)	Теоретические (s‘ )
		2 (D)

Далее находится вероятность Р(λ) (приложение 3). Чем ближе вероятность к 1, тем с большей уверенностью можно утверждать, что расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами случайны, и, таким образом, подтвердить или опровергнуть гипотезу о наличии того или иного характера распределения в эмпирическом ряду.

В нашем случае Р(λ)=1,00, т.е. с вероятностью 100% можно утверждать, что расхождения между фактическими и теоретическими частотами случайны, следовательно гипотезу можно принять с этой вероятностью.

Итак, все три критерия оценивают расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами как случайные, не опровергая тем самым выдвинутую гипотезу о том, что распределение станков по числу неисправностей подчиняется закону Пуассона.