Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Несмещенность

Теорема. Пусть М (Х ₁)=…= М (Х_n)= М (Х), тогда средняя арифметическая

является несмещенной оценкой математического ожидания М (Х).

Доказательство. Если М (Х ₁)=…= М (Х_n)= М (Х), то при любом n имеет место следующее свойство математического ожидания

,

то есть .

Таким образом, если , а , то является несмещенной оценкой математического ожидания М (Х).

Выборочное среднее является не только несмещенной, но и состоятельной оценкой математического ожидания.

Состоятельность.

Теорема. Пусть результаты Х ₁,…, Х_n наблюдений величины Х независимые случайные величины и М (Х ₁)=…= М (Х_n)= М (Х), и дисперсии D (Х ₁)=… D (Х_n) конечны. Тогда средняя – состоятельная оценка математического ожидания М (Х).

Если предположить, что Х ₁, Х ₂,…, Х_п имеют ограниченные дисперсии, то из теоремы Чебышева следует, что их среднее арифметическое, то есть , при увеличении п стремится по вероятности к математическому ожиданию а каждой их величин, то есть к М (Х):

которое, учитывая условие М (Х ₁)=…= М (Х_n)= М (Х), можно записать

.

Из определения состоятельности следует, что если , а , то выборочная средняя является состоятельной оценкой математического ожидания.

Эффективность.

Напомним, что свойство эффективности рассматривается только для несмещенных оценок. Докажем эффективность для случая, когда случайная величина Х имеет нормальный закон распределения.

Теорема. Пусть случайная величина Х имеет нормальный закон распределения и при этом результаты Х ₁,…, Х_n ее наблюдений независимы, а так же выполняются условия: М (Х ₁)=…= М (Х_n)= М (Х) и D (Х ₁)=…= D (Х_n)= D (Х). Тогда средняя арифметическая – это несмещенная эффективная оценка математического ожидания М (Х).

Доказательство. Для доказательства эффективности докажем, что ее дисперсия совпадает с минимальной границей, равной в случае нормального распределения .

.

Таким образом, - несмещенная эффективная оценка математического ожидания М (Х).

9.1.2. Точечная оценка дисперсии

Наряду с выборочной дисперсией

в качестве приближенного значения (возможной оценки) генеральной дисперсии будем использовать величину

,

которая связана с s² соотношением

Выясним их состоятельность, несмещенность и эффективность.

Состоятельность.

Теорема. Пусть результаты Х ₁,…, Х_n наблюдений величины Х независимые случайные величины и М (Х ₁)=…= М (Х_n)= М (Х), а дисперсии D (Х ₁)=… D (Х_n)= D (Х), а центральные моменты второго и третьего порядков величины Х конечны. Тогда при любом ε>0 имеет место равенство:

т.е. s ² – состоятельная оценка генеральной дисперсии D (Х) и

,

т.е. – состоятельная оценка генеральной дисперсии D (Х).