|
Покажем, что s 2 является смещенной оценкой дисперсии D (Х), так как при n =2 М (s 2)≠ D (Х).
но
.
Таким образом, – s 2 является смещенной оценкой дисперсии D (Х) и смещение равно .
Теорема. Пусть результаты Х 1,…, Хn наблюдений величины Х независимы, а М (Х 1)=…= М (Хn)= М (Х) и дисперсии D (Х 1)=… D (Хn)= D (Х). Тогда – несмещенная оценка дисперсии D (Х).
Доказательство. Найдем :
.
Итак при любом n , т.е. если , а , то является несмещенной оценкой дисперсии D (Х).
Эффективность.
Пусть случайная величина Х имеет нормальный закон распределения. Для доказательства эффективности докажем, что ее дисперсия совпадает с минимальной границей, равной в случае нормального распределения .
Предположим, что результаты Х 1,…, Хn наблюдений случайной величины Х независимы и имеют тот же закон распределения, что и случайная величина Х. При выполнении этих условий выполняется соотношение: . Поэтому
.
Так как не совпадает с нижней границей, то будучи несмещенной оценкой дисперсии D(Х), не является эффективной оценкой.
9.1.3. Частость как точечная оценка вероятности события
Обозначим через р неизвестную вероятность появления события А в единичном испытании. Найдем приближенное значение w вероятности р. Проведем n независимых испытаний по схеме Бернулли. Пусть m – количество испытаний, в которых произошло событие А. Тогда w= m / n – это частость появления события А. выясним, какими свойствами обладает w как точечная оценка вероятности р события.
Теорема. Пусть m – число наступлений события А в n независимых испытаниях, р - вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда w= m / n – состоятельная, несмещенная и эффективная оценка вероятности р.
Состоятельность.
Для испытаний по схеме Бернулли справедлива теорема Бернулли, согласно которой для любого ε>0 имеет место равенство
.
Из определения состоятельности следует, что если , а , то w= m / n – состоятельная оценка вероятности р.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 30 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |