Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Выборочные моменты

Для каждой из реализаций выборки можно ввести характеристики эмпирического закона F ^* _n (x), аналогичные введённым в теории вероятностей. Эти числовые характеристики мы будем называть выборочными. Выборочные моменты и центральные выборочные моменты порядка k, определенные на ГС, вычисляются по формулам:

Значения перечисленных моментов, полученные в s -той выборке, вычисляются по формулам:

.

Здесь, в отличие от принятых обозначений, введены случайные величины A_k и M_k определённые на ГС. Тогда величины a_k,s и m_k,s (обычно применяемые в МС) - это набор возможных значений соответствующих случайных величин. Иными словами, случайная величина A_k может принимать значения a_{k, 1} для первой выборки, когда реализуются значения { x ₁₁, x ₂₁, x ₃₁, ¼ x_{n 1}} случайных величин { X ₁, X ₂, X ₃, ¼ X_n }, a_{k, 2} - для второй выборки и далее до полного исчерпания возможного числа выборок из ГС. Обычно в МС применяются величины a_k и m_k, где опускают второй индекс, рассматривая только одну, первую выборку, поскольку чаще всего задача ставится именно таким образом: по данным единственной выборки определить характеристики теоретической функции распределения. Чтобы избежать путаницы в определениях, будем, как и в известных руководствах по МС, рассматривать a_k и m_k и x_l как случайные величины (вместо A_k, M_k и X_l соответственно), уточняя, по мере необходимости, те места, где возможны двусмысленности.

Величина a ₁ называется также выборочным средним (часто обозначают ). Можно показать, что при достаточно общих ограничениях на неизвестную функцию распределения F (x), выборочные характеристики близки к соответствующим теоретическим характеристикам

.

Предполагая, что теоретические параметры известны, вычислим через них математическое ожидание выборочных моментов.

Аналогично,

При выводе последних формул полагалось, что корреляция между случайными величинами x_l и x_m отсутствует:

Таким же образом можно найти математическое ожидание и дисперсию для центральных моментов. Например, для получим

Отметим, что в формулах - слева стоит математическое ожидание от величин, определённых для данной выборки, тогда как справа стоят неизвестные величины, определённые на ГС.