Читайте также:
|
Условия применения геометрического подхода к определению вероятности, формула геометрического определения вероятности.
5.1. На отрезке ОА длины l числовой оси наудачу поставлены две точки В и С, причем С правее В. Найти вероятность того, что длина отрезка ВС будет меньше длины отрезка ОВ.
5.2. Значения параметров а и b выбираются случайным образом из отрезка [-1;1]. Найти вероятность того, что при подстановке их в уравнение 
корни уравнения будут:
а) действительными; b) одинаковыми.
5.3. Деревянный брусок длины l распилили на три части в случайно выбранных двух точках. Найти вероятность того, что из полученных частей можно построить ограждение треугольной формы.
5.4. Приемник и передатчик включаются в случайные моменты времени от 13 до 14 часов. Сигнал длится 10 минут, а приемник после включения работает в течение часа. Найти вероятность того, что сигнал: а) будет зафиксирован; b) будет принят полностью.
5.5. Из отрезка [1;3] наудачу выбраны два числа. Найти вероятность того, что их произведение будет не больше 2.
5.6. Служебный автобус и один из его пассажиров подходят к остановке в случайные моменты времени от 6 часов до 6 часов 20 минут. Автобус стоит на остановке в течение 5 минут, а затем уезжает. Найти вероятность того, что пассажир опоздает на автобус.
5.7. Значения параметра а выбираются случайным образом из отрезка [0;1], а параметра b – из отрезка [-1;0]. Сколь вероятно, что прямая y=ax+b пересечет ось Ох на отрезке [0; 
]?
5.8. Магнитофонную ленту длиной 300 м разрезали на 2 части в случайно выбранной точке. Какова вероятность того, что длина меньшей части не превзойдет 100 метров?
5.9. На плоскости проведены параллельные линии, расстояние между которыми попеременно равны 1,5 и 8 сантиметров. Найти вероятность того, что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см не будет пересечен ни одной линией.
5.10. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение суток; время стоянки первого парохода один час, а второго – 2 часа. Найти вероятность событий:
А – {второму пароходу придется ожидать освобождения причала, но не
более 15 мин},
В – {ни одному из пароходов не придется ожидать освобождения причала}.
5.11. Имеется магнитофонная лента длиной 200 м, на обеих сторонах которой записаны сообщения: на одной стороне длиной 30 м, а на другой – длиной 50 м. Местоположение записей неизвестно. В связи с повреждением ленты пришлось удалить ее участок длиной 10 м, начиная с расстояния 80 м от начала ленты. Найти вероятность того, что ни одна из записей не будет повреждена.
5.12. К автобусной остановке с интервалом в 20 минут подходят автобусы некоторого маршрута. При этом первый из них может подойти равновозможно в любой момент времени от 6 часов до 6 часов 10 минут. Пассажир подходит к остановке в случайный момент времени от 6 часов до 6 часов 30 минут и ждет автобуса 10 минут, после чего (если автобус не приходит в течение этого времени) уезжает на попутной машине. Найти вероятность того, что пассажир уедет на автобусе.
5.13. На единичной окружности случайным образом поставлены 3 точки. Найти вероятность того, что при соединении их хордами получится:
а) остроугольный треугольник;
b) прямоугольный треугольник.
5.14. Из пункта А в пункт В ведут две дороги: прямая и объездная, через пункт С; при этом |АС|=40 км, |ВС|=30 км, |АВ|=50 км. В один и тот же момент из А в В выехали две машины. Первая поехала по прямой дороге с постоянной скоростью V1, которая может быть случайной и равновозможной от 50 км/ч до 75 км/ч, а вторая – в объезд с постоянной скоростью V2, которая может быть случайной и равновозможной от 60 км/ч до 100 км/ч. Найти вероятность того, что в момент прибытия второй машины в пункт С первая машина не пройдет и половины пути до В.
5.15. Задача Бюффона. На поверхности стола проведены параллельные линии на расстоянии 2b друг от друга. На стол случайный образом бросают иглу длиной 2l (l<b). Найти вероятность того, что игла пересечет одну из прямых.
5.16. Лодка перевозит груз с одного берега пролива на другой за один час. Какова вероятность того, что идущее вдоль пролива судно будет замечено с лодки, если судно с лодки обнаруживают в случае, когда пересекают его курс не ранее, чем за 20 минут до пересечения судном курса лодки, и не позднее, чем через 20 минут после пересечения судном курса лодки? Любой момент и любое место пересечения судном курса лодки равновозможны. Курс судна перпендикулярен курсу лодки.
5.17. Определить вероятность взрыва корабля при форсировании минного заграждения, если якорные контактные мины поставлены в один ряд на расстоянии с друг от друга, а курс корабля составляет угол 
с линией расположения мин. Ширина корабля равна b; диаметр мин равен d; пересечение кораблем линии расположения мин равновозможно в любой точке.
5.18. В круге радиуса R проводятся хорды параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не более R, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным заданному направлению.
5.19. Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса r. Расстояния между осями прутьев равны соответственно а и b. Определить вероятность попадания шариком диаметра d в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета шарика перпендикулярна плоскости решетки.
5.20. В случайный момент времени от 5 часов до 5 часов 30 минут начинается передача сигнала, который длится 5 минут. Через 20 минут после окончания сигнала он повторяется вновь (1 раз). Приемник включается в случайный момент времени от 5 до 6 часов на 15 минут. Определить вероятность того, что сигнал: а) будет принят полностью; b) будет зафиксирован.
Контрольные вопросы
1. Перечислите основные понятия теории вероятностей.
2. Какие элементы необходимо указать для задания реального эксперимента (Е)?
3. По какому признаку можно классифицировать реальные Е?
4. Дайте определение детерминированного и полудетерминированного Е. Приведите примеры.
5. В чем заключается свойство статистической устойчивости? Поясните на примере.
6. Сформулируйте основную задачу теории вероятностей.
7. Дайте определение случайного испытания и случайных исходов.
8. Поясните понятие элементарного исхода. Что такое пространство описаний элементарных исходов?
9. Сформулируйте аксиомы выбора элементарных исходов.
10. Дайте определение случайного события.
11. Что такое достоверное и невозможное события? Приведите примеры.
12. В чем различие между дискретным и недискретным пространством элементарных событий?
13. Какие существуют соотношения между случайными событиями?
14. Дайте определение соотношений: 
, 
и приведите примеры.
15. Какие события называются несовместными и совместными?
16. Что такое противоположное событие?
17. Какие события называются объединением и пересечением и какими логическими связками они реализуются?
18. Определите понятия разности, симметрической разности и полной группы событий.
19. Сформулируйте основные законы, которым удовлетворяют теоретико-множественные операции над случайными событиями.
20. Что такое алгебра и 
-алгебра событий? Покажите, что -алгебра замкнута относительно всех теоретико-множественных операций.
21. Какие элементы входят в теоретико-множественную модель Е?
22. Приведите примеры -алгебр для счетного и несчетного множества 
.
23. Дайте определение эволюционного эксперимента и приведите один из способов его описания.
24. Объясните понятие субъективной вероятности.
25. Укажите условия, которым удовлетворяет отношение правдоподобия между случайными событиями.
26. Сформулируйте основное правило комбинаторики (правило умножения) и приведите пример задачи, которую можно решить с использованием этого правила.
27. Определите понятие сочетаний. По каким формулам вычисляется количество различных сочетаний без повторения и с повторением? Приведите формулировку и решение задачи с использованием сочетаний.
28. Выполните задание из п.27 относительно размещений и перестановок.
29. Укажите условия применения классического подхода к определению вероятности, формулу для вычисления вероятности и приведите пример решения задачи.
30. Выполните задание из п.29 для геометрического подхода к определению вероятности.
31. Поясните суть статистического подхода к определению вероятности. Укажите его достоинства и недостатки. В чем заключается метод Монте-Карло (метод статистических испытаний)?
32. В чем состоит аксиоматический подход Колмогорова к построению вероятностных моделей? Дайте определение вероятности.
33. Какими свойствами обладает вероятность (по Колмогорову)? Докажите эти свойства.
34. Поясните, почему система аксиом Колмогорова непротиворечива и неполна.
35. Из каких элементов состоит основное вероятностное пространство?
36. Дайте определение верхнего и нижнего предела последовательности случайных событий. В каком случае последовательность имеет предел?
37. Докажите, что вероятностная функция 
непрерывна снизу.
38. Докажите, что вероятностная функция непрерывна сверху.
39. Проведите сравнительный анализ различных подходов к определению вероятности.
40. Приведите примеры использования методов и выводов теории вероятностей при решении практических задач.
Литература
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. Задачи и упражнения. − М.: Наука, 1973. − 367 с.
2. Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей: Учеб. пособие для втузов. − М.: Наука, 1989. − 320 с.
3. Мухин В.И., Сморкалова В.М. Сборник задач по теории вероятностей. Часть I. − Н. Новгород: ННГУ, 2000. − 39 с.
4. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / Под ред. А.А. Свешникова. − М.: Наука, 1965. − 632 с.
5. Федоткин М.А. Основы прикладной теории вероятностей и статистики: Учебник. − М.: Высшая школа, 2006. − 368 с.
Содержание
1. Элементы комбинаторики………………………………………………………..3
2. Пространство элементарных исходов. Случайные события…………………...5
3. Операции со случайными событиями…………………………………………...9
4. Классическое определение вероятности……………………………………….12
5. Геометрическое определение вероятности…………………………………….17
6. Контрольные вопросы…………………………………………………………...19
Литература…………………………………………………………………………..22
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 69 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |