Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Функции распределения времени пребывания

Читайте также:
  1. Cудeбныe функции князя и вeчe
  2. D. Условия пребывания и размещение
  3. I. Правосознание: понятие, структура, функции и виды.
  4. I. Сущность, формы, функции исторического знания.
  5. II. Правовая культура: понятие, функции и виды.
  6. II. Функции Аппарата Правительства
  7. II. Функции школьной одежды
  8. II. Характеристика распределения населения по доходу.
  9. II.2.2. Функции
  10. Int nod (int, int); - прототип нашей функции.

Поле заголовка Content-Type идентифицирует тип информации в теле сообщения, которая посылается получающей стороне или, в случае метода HEAD, тип информации (среды), который был бы послан, если использовался метод GET.

Content-Type = «Content-Type» «:» тип-среды

Типы сред определены отдельно.

Пример:

Content-Type: text/plain$ charset=ISO-8859-4

Поле Content-Type не имеет значения по умолчанию.

 

Функции распределения времени пребывания

Как указывалось выше, для проточного реактора время пребы­вания в аппарате отдельных элементов потока является в общем случае непрерывной случайной величиной, т. е. имеет статисти­ческую природу. Непрерывная случайная величина может быть задана с помощью функций распределения случайной величины. Различают интегральную функцию распределения F(τ) и диффе­ренциальную функцию, или плотность распределения f(τ).

Интегральная функция распределения времени пребывания F(τ) – это объемная доля потока, выходящего из реактора, которая находи­лась в реакторе в течение времени, меньшего чем τ.

В терминах теории вероятности F(τ) – это вероятность того, что время пребывания потока, вошедшего при τ0 = 0, не превысит некоторого значения τi:

F(τi) = Р(τ ≤ τi)

Свойства интегральной функции распределения:

F(0) = 0;

F(∞) = 1

если τ2 > τ1, то F(τ2) ≥ F(τ1)

Если τ – непрерывная случайная величина, то F(τ) – непре­рывная функция, и тогда dF(τ) – это объемная доля выходного потока, время пребывания которой в аппарате находится между значениями τ и .

Производная dF(τ)/dτ = f(τ) называется дифференциальной функцией распределения, или плотностью распределения случайной величины.

Дифференциальная функция распределения в данной задаче определена при τ > 0 и характеризуется следующими свойствами:

f(τ) ≥ 0

(12.1)

Величина f(τ)dτ имеет такой же физический смысл, что и dF(τ).

Например, если τi – какое-то конкретное значение времени пребывания в интервале от τ до τ + dτ, то

f(τi)dτ = [dF(τi)] = Р(τ ≤ τi ≤ τ + dτ) (12.2)

Вероятность того, что время пребывания фиксированной доли потока в реакторе находится в конечном интервале от τ1 до τ2

Вероятность того, что время пребывания фиксированной доли потока в реакторе больше любого заданного значения τ:

Среднее время пребывания фиксированной доли потока в ре­акторе равно математическому ожиданию непрерывной случайной величины, имеющей данную функцию распределения:

(12.3)

Экспериментальное изучение функций распределения

Экспериментально функция распределения времени пребыва­ния может быть найдена исследованием так называемых кривых отклика.

Итак, мы хотим знать, какое количество текущей жидкости бу­дет находиться в аппарате то или иное время. При этом отдель­ные частицы жидкости для нас неразличимы: мы не изучаем поле скоростей и не можем сказать, каким образом та или иная части­ца прошла от входа к выходу. Поэтому, обнаружив на выходе какую-либо частицу жидкости, нельзя сказать, вошла она в аппа­рат минуту назад или находилась в нем в течение часа.

Чтобы различить частицы, поступим так. Выделим из всей со­вокупности частиц те, которые вошли в аппарат в некоторый за­фиксированный момент. Момент этот примем за начало опыта. Если аппарат работает непрерывно в стационарном режиме то «судьба» выделенных частиц (например, распределение време­ни пребывания) не будет отличаться от «судьбы» любых других. Таким образом, выделенные частицы образуют представи­тельную выборку из генеральной совокупности частиц, дви­жущихся через аппарат. Для выделения интересующих нас частиц пометим жидкость, входящую в аппарат в момент, который примем за начало опыта (при τ = 0). Для этого во входящий поток быстро (теоретически мгновенно) добавляем порцию какой-либо примеси, называемой индикатором, или трассером. Схема установки изобра­жена на рис. 12.2.

Рис. 12.2. Схема установки для измерения распределения времени пребывания:

1 - ввод индикатора; 2 - вход в аппарат; 3 - выход из аппарата; 4 – датчик концентрации индикатора; 5 - самописец.

 

Трассер должен быть легко количественно определим, должен отличаться по какому-либо свойству (окраске, электрической проводимости, оптической плотности, кислотности, радиоактив­ности и т. д.) от веществ основного потока.

Кроме того, его добавление не должно влиять на характер потока (в частности, его следует вводить ма­ло, чтобы существенно не изменять расход), а сам он должен дви­гаться вместе с потоком, ни с чем не реагируя и не сорбируясь. Так, к потоку воды можно добавить немного кислоты или краси­теля, к воздуху – немного СО2 или Не. Начиная с момента τ = 0, на выходе из аппарата измеряют кон­центрацию индикатора си как функцию времени. Способ подачи трассера может быть различным: ступенча­тым (до момента времени τ0 индикатор не вводили в поток, а с момента τ0, его вводят с постоянным расходом), импульсным (мгно­венное введение порции индикатора) или периодическим (напри­мер, иметь синусоидальный характер). Для получения кривой от­клика на входной сигнал (т.е. выходной сигнал) измеряют в разные моменты времени концентрацию или количество индикатора в по­токе, выходящем из реактора.

Загрузка...

Для определения интегральной функции распределения создают входной сигнал ступенчатой (скачкообразной) формы (рис. 12.3). Измеряя в этом случае концентрацию индикатора на выходе в момент времени τi, и отнеся ее к начальной концентрации определяют какая доля потока находилась в проточном аппарате в течение времени, меньшего τi.

Рис. 12.3. Входной сигнал ступенчатой (скачкообразной) формы (а)

и кривая отклика (выходной сигнал) на него (б).

Рис. 12.4. Входной сигнал импульсной формы (а)

и кривая отклика (выходной сигнал) отклика на него (б)

 

Такая относительная концентра­ция (безразмерная случайная величина)

изменяется от 0 до 1 и соответствует интегральной функции рас­пределения F(τ), т.е. функция Ĉ(τ) обладает теми же свойствами, что и функция F(τ).

Важно отметить, что время пребывания в реакторе индикатора такое же, как и частиц основного потока, помеченных индикато­ром. Так как величина Ĉ(τ) безразмерная, она одна и та же и для индикатора, и для помеченного этим индикатором потока.

Дифференциальная функция распределения f(τ) соответствует кривой отклика на сигнал импульсной формы (рис. 12.4). Пока­жем, что это действительно так.

Пусть в момент времени τ0 на входе в проточный реактор импульсно введен индикатор в количестве nи,0. В некоторый мо­мент времени τi, концентрация индикатора на выходе из аппарата составит cиi), а произведение vcиi), где v – объемный расход, будет равно расходу индикатора в выходном потоке. Если рассмот­реть два момента времени τi, и τi + dτ, отличающиеся между собой на бесконечно малую величину dτ, то произведение vcиi)dτ покажет, какое количество индикатора покинет реактор за промежугок времени от τi до τi + dτ. Разделив это количество на nи,0, получим долю от первоначального количества индикатора, находившегося в реакторе в течение времени τi от τi до τi + dτ. По опреде­лению такая доля равна dF(τ) или f(τ)dτ [уравнение (12.2)].

vcиi)dτ = F(τi + dτ)- F(τi) = dF(τ) = f(τ)dτ

Следовательно,

(12.4)

Если v = const, а nи,0 постоянна по своему смыслу при импульс­ном введении индикатора, функция cи(τ) совпадает с функцией f(τ), с точностью до постоянного коэффициента. Это позволяет экспериментально получить дифференциальную функцию распределе­ния, измеряя во времени концентрацию индикатора.

Как и для интегральной функции распределения, по измене­нию концентрации индикатора cи(τ) можно судить о времени пре­бывания в реакторе частиц потока, помеченных этим индикатором.

Рассмотрим теперь, как выглядят функции распределения для реакторов с идеальной гидродинамической обстановкой (реакто­ры идеального смешения и идеального вытеснения) и для реакто­ров, описываемых ячеечной и диффузионной моделями.

Функции распределения времени пребывания идеальных и неидеальных проточных реакторов

Реактор идеального смешения.

Выведем уравнение, позволяю­щее рассчитать интегральную функцию распределения F(τ) для сгационарного реактора идеального смешения, а затем дифферен­цированием этой функции получим дифференциальную функцию распределения f(τ).

В соответствии с допущениями об идеальности, любой бес­конечно малый элемент потока, вошедший в реактор идеального смешения, может сразу после ввода появиться с вероятностью f0+Δτ) в любой точке реактора или в потоке, выходящем из ре­актора. Следовательно, вероятность выхода такого элемента из реактора не зависит от его пути или его истории (длительности пребывания в реакторе). Поэтому вероятность того, что он оста­нется в аппарате дольше, чем в течение времени τ +Δτ, равна про­изведению вероятностей двух взаимно независимых событий:

1) время пребывания в реакторе больше чем τ;

2) время пребыва­ния в реакторе больше чем Δτ.

Вероятность первого события равна [1 - F(τ)] вероятность вто­рого [1 - F(Δτ)]. Тогда

(12.5)

По определению, F(Δτ) – это объемная доля потока, находя­щаяся в реакторе в течение времени, меньшего чем Δτ.

С другой стороны, за время Δτ из реактора выйдет реакционная смесь объемом vΔτ. Вероятность выхода из аппарата одинакова для всех элементов объема реактора идеального смешения. Поэтому

где – среднее время пребывания в реакторе.

Подставляя F(Δτ) в уравнение (12.5) при Δτ, стремящемся к бес­конечно малому приращению dτ, ΔF(τ) → dF(τ) получим диффе­ренциальное уравнение

(12.6)

Найдем его частное решение при начальном условии

F(0) = 0 (12.7)

Уравнение (12.6) – дифференциальное уравнение первого по­рядка с разделяющимися переменными. Представим его в следую­щем виде:

(12.8)

После интегрирования получим

(12.9)

Путем несложных преобразований уравнения (12.9) можно привести к виду

В соответствии с начальным условием (12.7) постоянная интег­рирования равна единице (M = 1). Окончательно имеем

(12.10)

Плотность распределения времени пребывания f(τ) может быть получена дифференцированием уравнения (12.10):

(12.11)

Графики функций F(τ) и f(τ) приведены на рис. 12.5.

Рис.12.5. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции распределе­ния

времени пребывания в проточном реакторе идеального смешения

 

Реактор идеального вытеснения.

При плоском профиле линей­ных скоростей все частицы должны находиться и реакторе строго одинаковое время, равное среднему времени пребывания . Следовательно, для всех функция F(τ) = 0 и для всех функция F(τ) = 1.

Таким образом, интегральная функция распределения F(τ) для реактора идеального вытеснения – это разрывная функция, имею­щая только два значения; 0 и 1 (рис. 12.6, а).

 

Рис.12.6. Интегральная (а) и дифференциальиая (б) функции распреде­ления

времени пребывания в проточном реакторе идеального вытеснения

 

Для получения дифференциальной функции распределения нужно продифференцировать F(τ). Производная в точке разрыва (скачка) функции является особой функцией, называемой дельта- функцией Дирака , которую изучают в специальных разделах математики (рис. 12.6, б). Таким образом, используя дельта функцию можно записать

δ-функция обладает особыми свойствами. Функция равна нулю при всех значениях и . При функция = δ(0) = ∞.

δ-функция Дирака относится к классу обобщенных функций, изучаемых н специальных разделах математики.

Кроме того, функция должна удовлетворять условию

(12.12)

Так как отрицательные значения τ не имеют физического смысла, то нижний предел интегрирования в уравнении (12.12), сле­дует заменить на τ = 0. Тогда полученное уравнение

совпадает с одним из свойств дифференциальной функции рас­пределения [см. уравнение (12.1)].

Можно представить график функции, похожей на (рис. 12.7). Чем более узкой будет полоска между левой и правой ветвями, тем выше должна быть эта полоска, чтобы ее площадь (т. е. интеграл) сохраняла заданное значение, равное 1. Такой вид, в частности, будет иметь дифференциальная функция распределения времени пребывания для реального трубчатого реактора, гидродинамиче­ский режим в котором приближается к идеальному вытеснению.

 

Рис. 12.7. Функция, приближающаяся по свойствам к δ-функции

 

Конечно, δ-функция является определенной идеализацией, как, впрочем, идеализацией является и режим полного вытесне­ния, для описания которого она может быть применена.

Ячеечная модель (каскад реакторов идеального смешения)

Определить вид функций распределения для каскада реакторов идеального смешения можно, воспользовавшись аналогией между функциями распределения и кривыми отклика. Кстати, таким же методом можно получить вид функции распределения времени пребывания для единичного реактора идеального смешения.

Функция F(τ) соответствует зависимости Ĉ(τ) = си(τ)/си,0 получаемой как выходной сигнал на ступенчатый ввод индикатора. Предположим, что в поток, входящий в первый реактор каскада, начиная с момента времени τ0, вводится индикатор с постоянной концентрацией си,0. Условия в реакционной системе после ввода индикатора будут нестационарными. Для описания системы можно составить уравнение материального баланса по индикатору с учетом того, что он не расходуется на химическую реакцию. Для N-й секции каскада количество индикатора, входящего в эту секцию за время dτ, определяется как vcи,N-1dτ = d(VNси) = VNи, так как VN = const.

Уравнение материального баланса будет иметь вид

(12.13)

Если объемы всех секций каскада одинаковы, то среднее время пребывания в каскаде из N секций

,

а соответственно для N-й секции каскада

(12.14)

С учетом формулы (12.14) уравнение (12.13) можно представить в виде

Решая это уравнение сначала для первой секции каскада при начальном условии cи = 0, если τ = 0, а затем для каждой последуюшей секции, можно получить зависимость си(τ), а следователь­но, и вид интегральной функции распределения как ряд

(12.15)

где

На рис. 12.8 приведены интегральные функции распределения для каскада реакторов идеального смешения из N одинаковых секций (ячеечной модели проточного реактора с параметром N) для различных значений N.

Рис. 12.8. Интегральные функции рас­пределения времени пребывания

для ячеечной модели при различных зна­чениях N:

1 – N = 1; 2 – N = 2; 3 – N = 20; 4 – N = ∞

Дифференцированием функции F(τ) можно получить диффе­ренциальную функцию распределения (рис. 12.9)

(12.16)

Рис. 12.9. Дифференциальные функции распределения времени пребыва­ния

для ячеечной модели при различных значениях N:

1 – N = 1; 2 – N = 2; 3 – N = 6; 4 – N = ∞

 

При рассмотрении ячеечной модели было указано, что про­точные реакторы идеального смешения и идеального вытеснения могут быть описаны этой моделью. Действительно, при N = 1 уравнение (12.16) переходит в уравнение (12.11) для реактора идеального смешения, а при N → ∞ совпадает с функцией распределения реактора идеального вытес­нения.

Таким образом, если экспериментально найдена кривая откли­ка для реактора с реальным гидродинамическим режимом, то, со­поставив ее с расчетными кривыми для ячеечной модели, можно определить параметр модели N.

Следует иметь в виду, что при использовании ячеечной модели для расчетов реальных химических реакторов необходимо, чтобы определение параметра N по кривой отклика проводилось в аппа­рате, подобном по гидродинамическим условиям рассчитываемо­му реактору или непосредственно в изучаемом реакторе.

 


Дата добавления: 2014-12-15; просмотров: 59 | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Заголовки с синтаксическим разбором| При протекании реак­ции окисления аммиака.

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2018 год. (0.032 сек.)