Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Мода. Медиана, квантили и процентные точки

Читайте также:
  1. MS DOS С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ. ФАЙЛЫ И КАТАЛОГИ.
  2. Q находят угол, отложенный от точки весеннего равноденствия, и соединяют с центром Вселенной.
  3. А146. Предприятие с точки зрения гражданского права...
  4. Анализ влияния факторов на изменение точки безубыточности для многономенклатурного производства.
  5. б) построить уравнение эмпирической линии регрессии и случайные точки выборки
  6. Визначення ізоелектричної точки білків
  7. Відомо, що під час м язевої діяльності виникають підвищені потреби у кисні. Дати характеристику періоду відпочинку з точки зору оплати кисневого боргу.
  8. Внимание студент! Если разработаны карточки подвижных игр для данного возраста, то к конспекту можно их приложить (см. ниже образец карточки).
  9. Вопрос25.Направление вогнутости. Точки перегиба.
  10. Выпуклость и вогнутость графика функции Точки перегиба.

Модой М0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным.

Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным.

Медианой (Med) случайной величины Х называют такое значение, для которой вероятность того что P(X<Med)=P(X>Med). У любого распределения Med может быть только один.

Med разделяет площадь под кривой на 2 равные части. В случае одно-модального и симметричного распределения mx=Mod=Med.

Значение Хр, уровня Р называется квантилем этой случайной величины, если выполняется равенство: P(x<Xp)=P (1). 0<P<1. F(Xp)=P (2). Геометрический смысл квантиля:

Значение сл.вел Uq называется 100q% (сто кю процентной) точкой сл. Вел. Если: P(x>Uq)=q; 0<q<1.

Геометрический смысл: Квантили и % точки существенно используются в мат. Статистике при решении эконом. Задач. Между квантилем и 100q% точкой есть связь: 100q% точка есть квантиль уровня 1-q. Uq=X1-q.

38.Распределения «хи-квадрат», Стьюдента и Фишера. 1)Распределение «хи-квадрат». Пусть имеется несколько нормированных нормально распределенных случайных величин: Х 1, Х 2,…, Хп (ai = 0, σi = 1). Тогда сумма их квадратов:

является случайной величиной, распределенной по так называемому закону «хи-квадрат» с k = n степенями свободы; если же слагаемые связаны каким-либо соотношением (например, ), то число степеней свободы k = n – 1. Плотность этого распределения: . Здесь - гамма-функция; в частности, Г(п + 1) = п!. Следовательно, распределение «хи-квадрат» определяется одним параметром – числом степеней свободы k. Замечание 1. С увеличением числа степеней свободы распределение «хи-квадрат» постепенно приближается к нормальному. Замечание 2. С помощью распределения «хи-квадрат» определяются многие другие распределения, встречающиеся на практике, например, распределение случайной величины - длины случайного вектора (Х 1, Х 2,…, Хп), координаты которого независимы и распределены по нормальному закону. Распределение Стьюдента. Рассмотрим две независимые случайные величины: Z, имеющую нормальное распределение и нормированную (то есть М (Z) = 0, σ (Z) = 1) V, распределенную по закону «хи-квадрат» с k степенями свободы. Тогда величина: имеет распределение, называемое t – распределением или распределением Стьюдента с k степенями свободы. С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. Распределение Фишера. Рассмотрим две независимые случайные величины U и V, распределенные по закону «хи-квадрат» со степенями свободы k 1 и k 2 и образуем из них новую величину: . Ее распределение называют распределением Фишера со степенями свободы k 1 и k 2. Плотность его распределения имеет вид: , где . Таким образом, распределение Фишера определяется двумя параметрами – числами степеней свободы.

 

39.Закон больших чисел.Неравенство Чебышева.

Под законом больших чисел понимается совокупность всех теорем составляющих вероятностные закономерности поведения суммы достаточно большого числа случ.вел. Сюда относятся теоремы Бернули, Чебышева и др.

Неравенство Чебышева: Вероятность того, что отклонение сл.вел. от своего мат.ожид. по абсолютной величине не будет превосходить заданного положительного числа e, не меньше чем 1-(DX/(e^2),где DX дисперсия сл.вел, т.е: P(|X-
Mx|<e) >=1-1-(DX/(e^2), доказательство для непрерывной вел.:

|X-Mx|<eÛ(X-MX)^2<eÞ P(|X-
Mx|<e)=P(X-Mx)^2<e^2. X0=(x-Mx)^2; A=e^2. Применим неравенство Маркова (Вероятность того, что сл. Вел. Х примет своё значение < числа А, не меньше чем 1- Mx/A. Т.е. P(X<A)>=1-Mx/A.) P((X-MX)^2<e^2)>=1-Mx0/(e^2)=1-(M(X-MX)^2)/(e^2)=1-Dx/(e^2) ч.т.д.

На практике неравенство используется редко, т.к. оно часто даёт грубую оценку вероятности P(|X-
Mx|<e), но теоретическое значение неравенства громаденое, т.к. с помощью него доказывается большое количество теорем закон. Больших чисел.

 

40.Теорема Чебышева. Смысл теоремы и её значение.

Теорема: пусть дана система х1,х2,…,хn… независимых сл.вел. Дисперсии кот. Ограничены одним и тем же числом С. Dxi<=C, для любого I, тогда, как бы мало не было положительное e, как угодно близко к 1. |((x1+x2+…+xn)/n)-((Mx1+Mx2+…+Mxn)/n)|<e, если n- достаточно велико. Иначе говоря в условиях теориемы справедливо: P(|((x1+x2+…+xn)/n)-((Mx1+Mx2+…+Mxn)/n)|<e)=1.

Смысл теоремы: с вероятностью сколь угодно близкой к 1 можно утверждать, что среднеарифметическое сл.вел. будет близко к средне арифметическому их мат.ожид. Если число случ.вел. достаточно велико (n®∞), то если взять достаточно большое число случ.вел. то среднеарифм. Их ведёт себя предсказуемо, можно представить какие значения она может принимать. Она может принимать значения как угодно близко к средне арифмет. Мат.ожид. ((x1-MX1)+(X2-MX2)+…+(Xn-MXn))/n.

Доказательство теоремы: Xn(cp)=(x1+x2+…+xn)/n, M(xn(cp))=(Mx1+Mx2+…+Mxn)/n. P(|xn(cp)-M(xn(cp))|<e)=1.

Применим неравенство Чебышева к сл. Вел xn(cp), тогда: P(|xn(cp)-M(xn(cp))|<e)>=1-(D(xn(cp)))/(e^2) (*). Найдём оценку дисперсии: D(xn(cp))=D((x1+x2+…+xn)/n)=(1/(n^2))*D(x1+x2+…+xn), т.к. сл.вел. независимы: (1/(n^2))*(Dx1+Dx2+…+Dxn)<= (1/(n^2))*(C+C+…+C) [n раз]= (1/(n^2))*n*C=C/n, D(xn(cp))<=C/n. Вставим в (*): P(|xn(cp)-M(xn(cp))|<e)>=1-C/(n*e^2). (n*e^2)®0, Перейдём к пределу: P(|xn(cp)-M(xn(cp))|<e)>=1. В этом неравенстве слева стоит вероятность, кот. Не может быть больше 1, остаётся, что она =1. P(|xn(cp)-M(xn(cp))|<e)=1 ч.т.д.

Следствие теоремы: пусть дана система х1,х2,…,хn… независимых сл.вел. с одним и тем же мат.ожид. Mx1=Mx2=…=Mxn=a; Dxi<=C. Тогда с вероятностью сколь угодно близкой к 1, можно утверждать, что среднеарифметическое сл.вел. будет как угодно близко к мат.ожид. каждой сл.вел. Если число случ.вел. достаточно велико. В условии этой теоремы справедливо: P(|xn(cp)-a|<e)=1. Если заменить M(Xn(cp))=M((x1+x2+…+xn)/n)=(1/n)*(Mx1/a+Mx2/a+…+Mxn/a)=(1/n)*n*a=a ч.т.д.

Значение теоремы: На основе теоремы Чебышева разработан выборочный метод мат.статистики. Теория измерений основана на частном случае теор. Чебышева. Пример: Пусть нас интересует истинный размер некоторого объекта, обозначим его а, он нам не известен: x1,x2,…xn. Xn(cp)= ((x1+x2+…+xn)/n), и полагаем, что истинный размер а»xn(cp). С математической точки зрения все замеры являются независимыми и одинаково распределёнными сл.вел. Применим частный сл. Теоремы: Заключают. Что если число замеров достаточно велико, то с вероятностью сколь угодно близкой к 1, среднеарифметическое замеров будут как угодно близко к истинному размеру объекта.




Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 64 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав