Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Центральная предельная теорема Ляпунова. Следствие теоремы.

Теорема (Ляпунов).

Если независимые случайные величины имеют конечные математические ожидания и конечные дисперсии , число их достаточно велико, а при неограниченном возрастании

,

где - абсолютные центральные моменты третьего порядка, то сумма их с достаточной степенью точности имеет распределение

(Фактически мы приводим не теорему Ляпунова, а одно из следствий из нее, так как этого следствия вполне достаточно для практических приложений. Поэтому условие , которое названо условием Ляпунова, является более сильным требованием, чем необходимо для доказательства собственно теоремы Ляпунова.)

Смысл условия состоит в том, что действие каждого слагаемого (случайной величины) невелико по сравнению с суммарным действием их всех. Многие случайные явления, встречающиеся в природе и в общественной жизни, протекают именно по такой схеме. В связи с этим теорема Ляпунова имеет исключительно большое значение, а нормальный закон распределения является одним из основных законов в теории вероятностей.

Пусть, например, производится измерение некоторой величины . Различные уклонения наблюдаемых значений от истинного ее значения (математического ожидания) получаются в результате воздействия очень большого числа факторов, каждый из которых порождает малую ошибку , причем . Тогда суммарная ошибка измерения является случайной величиной, которая по теореме Ляпунова должна быть распределена по нормальному закону.

Следствие: Пусть последовательность попарно независимых. случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями , причем эти величины обладают следующими двумя свойствами:
1) Cуществует такое число L, что для любого i имеет место неравенство , т, е. все значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены, относительно математических ожиданий;
2) Cумма неограниченно растет при .
Тогда при достаточно большом n сумма имеет распределение, близкое к нормальному.
Пусть a и - математическое ожидание и дисперсия случайной величины . Тогда

Так как по следствию из теоремы Ляпунова случайная величина для больших значений n имеет распределение, близкое к нормальному, то согласно формуле (32) имеет место соотношение

(56)

где Ф(х) - интеграл вероятностей.