Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Числовые последовательности

1. Числовые последовательности и действия над ними

Опр.2.1: Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана числовая последовательность или просто последовательность х₁, х₂, … х_n, … Числа х_n (n=1,2, …) называют элементами или членами последовательности, а число х_n – общим или n-ым членом данной последовательности.

Последовательности можно задавать формулой общего члена х_n.

Пример: ;

Геометрически последовательность изображается на числовой прямой в виде множества точек, координаты которых равны соответствующим элементам последовательности

Если дана последовательность и из некоторого подмножества ее членов образована новая последовательность, порядок следования членов в которой такой же, как и в данной последовательности, то она называется подпоследовательностью этой последовательности и обозначается , причем n_{k < .}

Арифметические операции над числовыми последовательностями вводят следующим образом.

Опр.2.2: Суммой, разностью, произведением, отношением последовательностей называются последовательности , члены которых образованы соответственно по следующим правилам:

Произведением последовательности на число с называются последовательности .

Опр.2.3: Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если числовое множество с элементами х₁, х_2, … х_n, … ограничено сверху (снизу). Последовательность, ограниченная и сверху и снизу, называется ограниченной.

2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Опр.2.4: Последовательность называется бесконечно большой (б.б.), если для любого положительного числа А (сколь бы большим его ни взяли) существует номер N, такой, что для всех членов последовательности с номерами больше N выполняется неравенство .

Опр.2.5: Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если для любого положительного числа (сколь бы малым его не взяли) существует номер N, такой, что для всех членов последовательности с номерами больше N выполняется неравенство

Теорема 2.1: (связь между б.б. и б.м. последовательностями): Если последовательность -б.б. и все ее члены отличны от 0 (х_n≠0), то последовательность - б.м.; и обратно, если - б.м. последовательность, (a_n≠0), то последовательность = - б.б.

Свойства б.м. последовательностей:

Теорема 2.2: Алгебраическая сумма любого конечного числа б.м. последовательностей есть б.м. последовательность.

Теорема 2.3: Произведение любого конечного числа б.м. последовательностей есть б.м. последовательность.

Замечание: Частное б.м. последовательностей может не быть б.м. последовательностью и может не иметь смысла.

Теорема 2.4: Произведение ограниченной последовательности на б.м. есть последовательность б.м.

Следствие: Произведение б.м. последовательности на число есть последовательность б.м.