Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Функции многих переменных. Явные и неявные задания функций.

Определение 1. Если каждой точке множества D ставится в соответствие единственное число у из I, то говорят, что задана функция n переменных у=f(x₁, …, x_n). Множество D называется областью определения функции D(у)=D, множество I называется множеством значений функции I (у)= I.

Если зафиксировать любые n-1 переменные, то функция многих переменных превращается в функцию одной переменной. x₂=с₂, x₃=с₃, …, х_n=c_n; y=f(x₁, c₂, …, c_n) - функция одной переменной х₁.

Пример. - функция двух переменных,

- функция трех переменных.

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y) = 0, не разрешенного относительно y. Всякую явно заданную функцию y = f(x) можно записать как неявно заданную уравнением f(x) - y = 0, но не наоборот.

Если неявная функция задана уравнением F(x;y) = 0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х, полученное затем уравнение разрешить относительно у`. Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

5. Дифференцирование функций типа y=f(x)

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х _o называется предел = .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x _o; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен ¥ (или - ¥), то при условии, что функция в точке х _o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х _o бесконечную производную.

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,ч то производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х _o; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t _o.

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v ^2;

5) если y = f(u), u = j (x), т.е. y = f(j (x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций j и f, то , или ;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем ¹ 0, то .

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u ^m )' = m u ^{m - 1} u' (m Î R).

2. (a ^u)' = a ^u lna × u'.

3. (e ^u)' = e ^u u'.

4. (log _a u)' = u' /(u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. (sin u)' = cos u × u'.

7. (cos u)' = - sin u × u'.

8. (tg u)' = 1/ cos ² u × u'.

9. (ctg u)' = - u' / sin ² u.

10. (arcsin u)' = u' / .

11. (arccos u)' = - u' / .

12. (arctg u)' = u' /(1 + u ²).

13. (arcctg u)' = - u' /(1 + u ²).

Вычислим производную степенно-показательного выражения
y=u ^v, (u>0), где u и v суть функции от х, имеющие в данной точке производные u', v'.

Прологарифмировав равенство y=u ^v, получим ln y = v ln u.

Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:

y'/y = vu'/u +v' ln u, откуда y' = y (vu'/u +v' ln u).

Итак,

(u ^v)'=u ^v (vu'/u+v' ln u), u > 0.

Например, если y = x ^{sin x}, то y' = x ^{sin x} (sin x/x + cos x × ln x).

Инвариантность формы дифференциала

Формула дифференциала функции имеет вид

, где - дифференциал независимой переменной.

Пусть теперь дана сложная (дифференцируемая) функция , где , . Тогда по формуле производной сложной функции находим ,

так как . Итак, , т.е. формула дифференциала имеет один и тот же вид для независимой переменной и для промежуточного аргумента , представляющего собой дифференцируемую функцию от .

Это свойство принято называть свойством инвариантности формулы или формы дифференциала. Заметим, что производная этим свойством не обладает.