Читайте также:
|
Во многих случаях возникает необходимость сравнения двух множеств, каждое из кото-рых получено из одних и тех же исходных подмножеств в результате различных комбинаций нескольких теоретико-множественных операций. Для этого рассмотрим диаграммы Венна для двух и трёх множеств. Они показаны на рис.7 и 8. Цифры на этих рисунках – это просто имена соответствующих подмножеств.
Принципиальными являются следующие почти очевидные факты, которые приводятся без доказательств.
Утверждение 1. α) Результат выполнения любых теоретико-множественных операций над множествами A и B является объединением некоторых множеств из числа множеств, обо-значенных на рис.7 цифрами 1, 2, 3, 4. β) Результат выполнения любых теоретико-множествен-ных операций над множествами A, B и C является объединением некоторых множеств из числа множеств, обозначенных на рис.8 цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Таким образом, для определения результатов теоретико-множественных операций мож-но осуществить операции с множествами, состоящими из символов 1, 2, 3, 4 (для двух мно-жеств) или из символов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (для трёх множеств). Такие операции подробно рассмотрены в примерах 10 и 11. Рассмотрим ещё некоторые примеры.
Пример 12. Рассмотрим множество(А 
В) ', где А и В показаны на рис.7. В данном слу-чае U = {1, 2, 3, 4}; А ={2, 4}; B = {3, 4}. В соответствии с описанными ранее алгоритмами вы-полнения теоретико-множественных операций имеем А В = {4}, (А В) ' = {4} ' = {1, 2, 3}. Та-ким образом, просто подсчитано, что
(А В) ' = {1, 2, 3}. (3а)
Рис.7
| 
Рис.8
|
Рассмотрим теперь множество А' 
В'. Имеем (см. рис.7): А' = {1, 3}, В' = {1, 2}, А' В' = {1, 3} {1, 2}= {1, 2, 3}, т.е. подсчитано, что
А' В' = {1, 2, 3} ■ (3b)
Формулы (3а) и (3b) означают, что (А В) ' = А' В' (дополнение к пересечению равно объ-единению дополнений). Это соотношение называется 1 -м законом де Моргана. Аналогично вы-водится и 2 -й закон де Моргана: (А В) ' = А' В' (дополнение к объединению равно пересече-нию дополнений). Законы де Моргана уже упоминались в главе 1.1. «Высказывания» (формулы (7) и (8) в разделе 4.1). Но там они относились к истинностным значениям составных высказы-ваний, а здесь – к двум произвольным подмножествам произвольного универсального множест-ва U. Однако это – не случайное совпадение, а проявление общей закономерности, рассматриваемой в курсе в главе 1.5 «Булева алгебра».
Пример 13. Рассмотрим множество А (В С), где А, В и С показаны на рис.8. В данном случае U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; А ={2, 5, 6, 8}; B = {3, 5, 7, 8}; С = {4, 6, 7, 8}. В соответствии с описанными ранее алгоритмами выполнения теоретико-множественных операций имеем В С = {3, 5, 7, 8} {4, 6, 7, 8} = {7, 8}; А (В С) = {2, 5, 6, 8} {7, 8} = {2, 5, 6, 7, 8}. Таким образом,
А (В С) = {2, 5, 6, 7, 8}. (4а)
Рассмотрим теперь множество (А В)Ç(А С) с теми же самыми А, В и С. В соответствии с описанными ранее алгоритмами выполнения теоретико-множественных операций имеем А В = {2, 5, 6, 8} {3, 5, 7, 8} = {2, 3, 5, 6, 7, 8}; А С = {2, 5, 6, 8} {4, 6, 7, 8} = {2, 4, 5, 6, 7, 8}; (А В) (А С) = {2, 3, 5, 6, 7, 8}Ç {2, 4, 5, 6, 7, 8} = {2, 5, 6, 7, 8} Таким образом,
(А В) (А С)= {2, 5, 6, 7, 8} ■ (4b)
Формулы (4а) и (4b) означают, что А (В С) = (А В) (А С). Эти соотношения выража-ют дистрибутивность объединения относительно пересечения. Заметим, что в 15-м вариан-те 6-го задания из главы «Высказывания» требуется проверить эквивалентность двух составных высказываний:
P Ú(Q Ù R) º (P Ú Q)Ù(P Ú R),
которая внешне напоминает установленное в примере 13 равенство множеств. Эта аналогия между составными высказываниями и теоретико-множественными операциями обсуждается в главе «Булева алгебра».
Задание 10. Путём выполнения заданных теоретико-множественных операций проверить равенство двух множеств (см. примеры 12 и 13):
1. А (В С) = (А В) С
2. А (В С) = (А В) С
3. А (В С) = (А В) (А С)
4. А (В С) = (А В) (А С)
5. (А В) А = (А В) A = А
6. (А В) ' = А' В'
7. (А В) ' = А' В'
8. A 
(В С) = (A В) (A C)
9. A (В С) = (A В) (A C)
10. A (A B) = А В
11. А В = А (А В)
12. А (B C) = (А В) (A С) = (А В) C
13. (A B) C = (A C)\(B C)
14. А В = A (B A)
15. (A') ' = A
16. A A' = U, где U - универсальное множество
17. A A' = Æ
18. (А В) (А В') = (А В) (А В') = A
19. (А' В) A = А В
20. A (B A) = Æ
21. (А В) C = (A C) (B C)
22. A (B C) = (A B) (A C)
23. A (B C) = (A B) C
24. A Δ B = B Δ A
25. A Δ(B Δ C) = (A Δ B Δ C
26. A (B Δ C) = (A B)Δ(A C)
27. A Δ(A Δ B) = B
28. A B = A Δ B Δ(A B)
29. A B = A Δ(A B)
30. A ΔÆ = A
31. A Δ A = Æ
32. A Δ U = A', где U - универсальное множество
33. A B = (A Δ B) (A B) ■
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 48 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |