Читайте также:
|
Формулировка:
Для всякой системы вложенных отрезков 
существует хотя бы одна точка c, принадлежащая всем отрезкам данной системы.
Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю: 
, то c — единственная общая точка всех отрезков данной системы.
Док-во:
Из определения о вложенных отрезках.
, что для любого 
, следовательно существует 
, что для любого 
, и существует 
Так как мы доказываем единственность точки, следовательно пределы последовательностей в этой точке 
и 
равны. Из этого следует, 
Как нам известно , а , то 
Вопрос8. Теорема Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности. Критерий сходимости последовательности. Из определения сходимости последовательности 
к точке a вытекает, что для любого 
интервалом длиной 2 
можно накрыть всю эту последовательность, исключением может быть конечное число ее элементов, если середину интервала поместить в точке 
. Справедливо и обратное: если последовательность такова, что для любого можно накрыть всю эту последовательность, исключая может быть конечное число ее элементов, поместив центр интервала в некоторую точку, то она сходится. Сформулируем это утверждение более точно.
Подпоследовательность 
называется последовательностью Коши или фундаментальной, если 
Теорема (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.
Доказательство:Необходимость. Пусть 
сходится. 
Достаточность. Пусть - фундаментальная последовательность. Докажем, что она ограничена и 
.
Так как последовательность фундаментальна, то 
, в -окресности которой существуют все элементы 
.Предположим, 
.В отрезке [A, -A] содержатся все элементы последовательности, т.е. - ограниченна.В следствие теоремы Больцано-Вейерштрасса (
) < (
). 
в силу произвольности
Теорема. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Док-во. Пусть 
ограниченная последовательность. Тогда 
: 
, 
.Рассмотрим множество таких вещественных чисел, что правее каждого из этих лежит не более,чем конечное число элементов последовательности . Множество таких x не пусто, т.к. 
x. Кроме того, множество таких элементов ограничено снизу любым числом, меньшим m, 
, 
.Докажем, что 
является частичным пределом последовательности . Зададим произвольное 
; 
=> правее числа лежит бесконечно много элементов последовательности .По определению множества элементов правее элемента x лежит не более, чем конечное число элементов последовательности, а значит, на полуинтервале (
] 
бесконечно много элементов последовательности. Тем более в окрестности (
) содержится бесконечно много элементов последовательности. Это означает, что - частичный предел последовательности, т.е. есть подпоследовательность, которая сходится.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 41 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |