Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вопрос21. Логарифмическая производная. Производная функции .

Выбирается такая подстановка, в результате применения которой неопределенные интегралы от тригонометрических функций преоразющим в неопределённые интегралы от дробно рациональных функций вычисление интеграла вида SR(sinx,cosx)dx(1)

Теорема.

Неопределенный(1)подстановкой t=tgx/2(2)

Преобразует в неопределённость интеграл

Док-во:sinx=sinα x/2 cosx/2=

-числитель и знаменатель разделим на

Sinx=

Аналогично cosx=

X=2arctgt

dx=

Интеграл(1) примет вид:SR(sinx,cosx)dx=SR(, )

-интеграл от рациональной дроби

Интегрируем и делаем обратную замену переменной

Замечание:В некоторых случаях применение универсальной подстановки(2)приводит к громоздким выкладкам.Если m и n – целые числа, то рассматривают следующие случаи при вычеслении интегралов вида.S xdx=S xdcosx

S

2=ns+1 Вторая подстановка- аналогично первой подстановке t=sinx

3) mtn=2s.Третья подстановка t=tgx.

S : -интеграл от рациональной функции

При вычеслении интегралов вида(1) при наличии равенства типа R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)целесообразна подстановка t=cos,если же подынтегральная функция нечетна относительна cosx, т.е

R(sinx,-cos)=-R’(sinx,cosx),то вычесление интеграла(1)значительно упрощается при использвании подстановки t=sin.В случае четности подынтегральной функции относительно sinx и cosx, т.е

R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)

Подстановка t tgx приводит к интегралу от рациональной функции

Для интегрирования функций sinx cosmx,cosnx cosmx,sinx sinmx могут быть использованы след. формулы:

Sina cosb=0,5/sin(a-b)+sin(a+b));

Cosa cob=0,5/cos(a-b)+cos(a+b));

Sina sinb=0,5/cos(a-b)-cos(a+b).

Производная функции u(x)^v(x): Найдем lny=ᵠ(x)lnf(x).Дифференцируя, получим y′/y=ᵠ′(x)lnf(x)+ᵠ(x)(lnf(x)′)=ᵠ′(x)lnf(x)+ᵠ(x)f′(x)/f(x). Учитывая, что y=f(x)^ᵠ(x), получим после преобразований y′=ᵠ(x)f(x)^ᵠ(x)-1 *f′(x)+f(x)^ᵠ(x) lnf(x)ᵠ′(x), т.е для того чтобы найти производную степенно-показательной функции, достаточно фиыыеринцировать ее вначале как степенную, а затем как показательную, и получкенные результаты сложить.