Читайте также:
|
|
Необходимое условие:Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке
[a,b], не является в нем монотонной. Найдутся такие части промежутка [a,b], в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке. Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум),если эту точку можно окружить такой окрестностью (x0-,x0+),содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство. f(x) < f(x0)(или f(x)>f(x0))
Иными словами, точка x0 доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x0) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума)предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x0. Если существует такая окрестность, в пределах которой (при
x=x0) выполняется строгое неравенство f(x)<f(x0)(или f(x)>f(x0) то говорят, что функция имеет в точке x0 собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный. Если функция имеет максимумы в точках x0 и x1, то, применяя к
промежутку [x0,x1] вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего
своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке
x2 между x0 и x1 и имеет там минимум. Аналогично, между двумя
минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на
практике – важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное
число максимумов и минимумов, они просто чередуются. Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум.
Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются
локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х0.
Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений
относятся к конечному отрезку [a,b] и являются глобальными свойствами
функции на отрезке.
Достаточное услоие.Первый признак: Предположим, что в некоторой окрестности (х-,х+) точки х0(по крайней мере, для х=х0) существует конечная производная и как
слева от х0, так и справа от х0 (в отдельности) сохраняет
определенный знак. Тогда возможны следующие три случая: I f’(x)>0 при х<х0 и f’(x)<0 при х>х0, т. е. производная f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак плюс на минус. В этом случае,в промежутке [х0-,х0] функция f(x) возрастает, a в промежутке [х0,х0+
] убывает, так что значение f(x) будет наибольшим в промежутке [х0-,х0+ ], т. е. в точке х0 функция имеет собственный максимум.
II f’(x)<0 при х<х0 и f’(x)>0 при х>х0, т. е. производная
f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак минус на плюс. В этом
случае аналогично убеждаемся, что в точке х0 функция имеет собственный
минимум.
III f’(x)>0 как при х<х0 так и при х>х0 либо же f’(x) и слева и
справа от х0, т. е. при переходе через х0, не меняет знака. Тогда
функция либо всё время возрастает, либо всё время убывает; в любой
юлизости от х0 с одной стороны найдутся точки х, в которых f(x)<f(x0),
а с другой – точки х, в которых f(x)>f(x0) так что в точке х0 никакого
экстремума нет. Итак, мы получаем правило для испытания “подозрительного”
значения х0: подставляя в производную f’(x) сначала х<х0, а затем
х>х0, устанавливаем знак производной вблизи от точки х0 слева и справа
от неё; если при этом производная f’(x) меняет знак плюс на минус, то
налицо максимум, если меняет знак с минуса на плюс, то – минимум;
если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет.
Достаточное условие. Второй признак:Нередко более удобным на практике оказывается другой признаксуществования экстремума, основанный на выяснении знака второй
производной в стационарной точке.Справедлива следующая теорема.Теорема 3.1:Если х0 есть стационарная точка функции f(x) и f’’(x)<0, то в точке х0 функция иммет максимум,а если f’’(x)>0, то функция имеет в точке х0 минимум.Доказательство: По определению второй производной
(f’(x)-f’(x0)
f’’(x0)=lim-------------
x-x0 По условию теоремы f’(x)=0. Поэтому f’(x)f’’=lim
----------x-x0
Допустим, что f’’(x)<0. Тогда по теореме о пределах функции
найдётся такой интервал (x0-,x0+), в котором переменная величина
f’(x)/(x-x0) сохраняет знак своего предела, т. е. выполняется
неравенство f’(x)
----------<0 (x0- <x<x0+)
x-x0 Отсюда следует,что f’(x)>0, если х-х0<0, или х>х0, и f’(x)<0,если х-х0>0, или х>х0. На оснавании первого достаточного признака
существования экстремума заключаем, что в точке х0 функция f(x) имеет
максимум. Аналогично показывается, что условие f’’(x)>0 обеспечивает
минимум функции f(x).ч.т.д.
Таким образом получаем правило нахождения экстремумов (для
дважды дифференцируемых функций):
1.Вычисляем первую производную f’(x) и из уравнения f’(x)=0
находим стационарные точки функции f(x).
2.Вычсляем вторую производную, и каждую стационарную точку х0
подвергаем испытанию:
- если f’’(x)>0, то х0 – точка минимума функции;
- если f’’(x)<0, то х0 – точка максимума функции.
Использование высших производных.
В случае, когда f’’(x)=0 (f’(x)=0) экстремум может быть, а
может и не быть. Рассмотрим общий случай.
Теорема 3.2:Пусть функция f:U(x0) R, определенная в окрестности
U(x0) точки х0, имеем в х0 производные до порядка n включительно
(n>1). Если f’(x0)=…=f (n-1)(x0)=0 и f(n)(x0)=0, то при n нечетном в
х0 экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий
локальный минимум, если f(n)(x0)>0, и строгий локальный максимум,
если f (n)(x0). Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора f(x)-f(x0)=f(n)(x0)(x-x0)n+ (x)(x-x0)n где (x) 0 при x x0,будем рассуждать так же, как при
доказательстве леммы Ферма. Перепишем (2) в виде
f(x)-f(x0)=(f(n)(x0)+ (x))(x-x0)n (3.3) Поскольку f(n)(x0)=0,а (x) 0 при x x0, сумма имеет знак
fn(x0),когда х достаточно близок к х0. Если n нечетно, то при переходе
через х0 скобка (х-х0)n меняет знак и тогда изменяется знак всей
правой, а следовательно, и левой части равенства (3.3). Значит, при
n=2k+1 экстремума нет.
Если n четно, то (x-x0)n>0 при x=x0 и,следовательно, а малой
окрестности точки х0 знак разности f(x)-f(x0), как видно из равенства
(3.3), совпадает со знаком f(n)(x0):
- пусть f(n)(x0),тогда в окрестности точки х0 f(x)>f(x0), т. е. в
точке х0 – локальный минимум;
- пусть f(n)(x0)>0,тогда f(x)>f(x0),т. е. в точке х0 локальный
минимум. ч.т.д.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 43 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |