Читайте также:
|
|
Определение: Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y) D. Точка M0(x0;y0) - внутренняя точка области D. Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0, что для всех точек то точка M0 называется точкой локального максимума. А само значение z(M0) - локальным максимумом.
А если же для всех точек то точка M0 называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M0) - локальным минимумом.
Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума). Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C0, но эти точки (например, В) не являются "соседними" с точкой C0.
В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума: Аналогично определяется и глобальный минимум:
Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10.
Теорема (необходимые условия экстремума).
Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y) D. Точка M0(x0;y0 D - точка локального экстремума.
Если в этой точке существуют z'x и z'y, то Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом 0° к оси Ох и к оси Оу.
Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):
что и требовалось доказать.
Определение:Если в точке M0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y). Теорема (достаточные условия экстремума).
Пусть задана z =z (x,y), (x,y) D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M0(x0,y0) D. Причем M0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим: Если:
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |