Читайте также:
|
|
Если функция y = f(x) имеет производные в окрестности точки x = x0 до (n+1) - го порядка включительно, то существует точка , такая, что
(1) |
где
Формула (1) называется формулой Тейлора функции y = f(x) для точки x0,
Rn (x) - остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. Многочлен называется многочленом Тейлора функции y = f(x).
При x0 = 0 приходим к частному случаю формулы (1):
(2) |
где
Формула (2) называется формулой Маклорена функции y = f(x). Сформулируем условие разложимости функции в ряд Тейлора.Если функция f(x) дифференцируема в окрестности точки x0 любое число раз и в некоторой окрестности этой точки , то
(3) |
При x0 = 0
(4) |
Ряд (3) называется рядом Тейлора, а ряд (4) – рядом Маклорена.
Разложение функций в степенные ряды: Пусть дана функция f (x), которую требуется разложить в степенной ряд, т.е. представить в виде (30): Задача состоит в определении коэффициентов ряда (30). Для этого, дифференцируя равенство (30) почленно, последовательно найдём:
……………………………………………….. (31)
Полагая в равенствах (30) и (31) х = 0, находим
Тогда Подставляя найденные выражения в равенство (30), получим
(32)
Это разложение функции f (x) в ряд называется рядом Маклорена.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 42 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |