Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теоретическое введение

Изучение ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ

На механической модели – МАШИНЕ АТВУДА

Цель работы:

1. Ознакомиться с динамическими закономерностями на примере законов кинематики и динамики материальной точки.

2. Проверить закон равноускоренного движения тела.

3. Проверить второй закон Ньютона для тела постоянной массы.

Теоретическое введение

Закономерности, описывающие природные процессы и явления, подразделяются на динамические и статистические.

Динамические закономерности позволяют, зная состояние объекта в некоторый момент времени, однозначно и сколь угодно точно определить его состояние в любой предшествующий или последующий момент времени. Пример динамических закономерностей – законы классической механики. Область применения динамических закономерностей – сравнительно простые, например механические, системы. Динамические закономерности не учитывают фактор случайности.

Более общий характер имеют статистические (вероятностные) закономерности, учитывающие влияние фактора случайности на исследуемые объекты и процессы. Они определяют поведение сложных (состоящих из большого числа элементов) систем и микроскопических – квантовых – систем. Динамические закономерности – частный случай статистических. Статистические закономерности переходят в динамические, если ролью случайностей можно пренебречь.

В данной работе мы знакомимся с динамическими закономерностями на примере законов механики, описывающих движение материальной точки.

Механика [от греч. mechanikе (tеchnё) - наука о машинах, искусство построения машин] – наука, изучающая простейшую – механическую - форму движения и взаимодействия материальных тел. Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного положения тел или их частей в пространстве. Под механическим взаимодействием тел понимают их силовое взаимодействие, приводящее к изменению движения тел или к их деформации. Простейшим объектом изучения механики является материальная точка – тело, размерами и внутренним строением которого в рассматриваемой ситуации можно пренебречь.

В механике возникает общий для всего естествознания вопрос об описании состояния исследуемого объекта. Описать состояние объекта в данный момент времени означает дать минимальный набор информации о нем, на основании которого, располагая также информацией о внешних воздействиях на объект, можно предсказать его состояние в любой последующий момент времени, то есть предсказать его движение (развитие).

Познакомимся с описанием состояния объекта и динамическими закономерностями на примере материальной точки, могущей совершать одномерное механическое движение, то есть перемещаться в пространстве лишь вдоль одной оси – оси ОХ. Ограничимся случаем движения со скоростью, много меньшей скорости света, который изучает так называемая классическая (ньютоновская) механика.

Важнейшими разделами механики являются кинематика – описание движения тел без учета обуславливающих это движение сил, и динамика - учение о движении тел под действием сил.

При изучении движения тел нужно выбрать некоторую систему отсчета, включающую в себя тело отсчета, связанную с ним систему координат и часы. Положение материальной точки относительно выбранной системы координат можно описать различными способами. Простейший из них – координатный. При одномерном движении относительно оси ОХ положение точки в каждый момент времени характеризует ее координата х (при двух- и трехмерном движении – две и три координаты, соответственно). Говорят, что известен закон движения точки, если известно, как ее положение относительно выбранной системы координат зависит от времени. Закон одномерного движения материальной точки может быть задан аналитически в виде зависимости координаты точки от времени x (t).

Важнейшими кинематическими характеристиками движения точки являются ее скорость и ускорение. Скорость характеризует быстроту движения точки. Быстроту одномерного движения точки вдоль оси ОХ характеризует проекция мгновенной скорости точки на эту ось (далее для краткости слово «мгновенная» опущено). По определению – это предел, к которому стремится отношение приращения (изменения) координаты точки Δ х к соответствующему промежутку времени Δ t, при условии, что Δ t стремится к нулю. Иначе говоря, это – первая производная от координаты точки по времени:

. (2.1)

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости. При одномерном движении используется проекция ускорения на ось ОХ, обозначаемая а_х и равная пределу, к которому стремится отношение приращения проекции скорости точки к соответствующему промежутку времени Δ t, при условии, что Δ t стремится к нулю. Иначе говоря, это – первая производная от проекции скорости точки по времени или вторая производная от координаты точки по времени:

. (2.2)

Динамика базируется на трех законах Ньютона.

Первый закон Ньютона (закон инерции) утверждает, что существует система отсчета (так называемая инерциальная система отсчета), относительно которой свободная материальная точка (точка, на которую не действуют внешние силы) сохраняет состояния покоя или прямолинейного равномерного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет точку из этого состояния. Равномерное прямолинейное движение свободной точки называют движением по инерции, а способность тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения – инертностью тела. Инерциальные системы отсчета важны тем, что только в них выполняются второй и третий законы Ньютона. Понятие инерциальной системы отсчета является абстракцией, так как ни одна из реально используемых систем отсчета не является, строго говоря, инерциальной. Однако при решении многих практических задач можно считать инерциальной систему отсчета, связанную с Землей.

В динамике важнейшую роль играют понятия массы и силы. Масса есть мера инертности тела и одновременно – мера его гравитационных свойств, то есть способности притягиваться к другим материальным объектам. Сила - векторная физическая величина, характеризующая степень механического воздействия одного тела (или поля) на другое тело, вызывающего движение тела с ускорением или деформацию тела.

Второй закон Ньютона устанавливает связь между изменением состояния движения точки и внешним силовым воздействием на нее. Второй закон Ньютона в общем виде гласит: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на эту точку силе:

, (2.3)

где - импульс точки, m - масса точки, - скорость точки, - сила.

Если масса точки постоянна, то второй закон Ньютона принимает вид:

, (2.4)

где - вектор ускорения точки.

Проецируя векторное равенство (2.4) на ось ОХ, получаем: , или с учетом формулы (2.2):

. (2.5)

Второй закон Ньютона, записанный в виде (2.5), называют дифференциальным уравнением движения материальной точки вдоль оси ОХ.

В динамике рассматриваются две основные задачи. При решении прямой задачи задаются масса точки и закон ее движения, в одномерном случае – зависимость x (t). Требуется найти зависимости от времени кинематических характеристик: скорости и ускорения, а также силы, действующей на тело при данном движении. Задача решается однозначно: путем дифференцирования закона движения находятся скорость и ускорение (формулы (2.1) и (2.2)), по второму закону Ньютона находится сила.

Более сложной является обратная задача: зная силу, действующую на точку заданной массы, найти зависимости от времени ее ускорения и скорости, а также закон ее движения. Сила, действующая на точку, может зависеть от времени, а также от скорости точки (например, сила сопротивления среды движению) и ее координаты (например, сила упругости). Для решения этой задачи при одномерном движении используется уравнение (2.5), в котором в общем случае . Здесь и возникает вопрос об описании состояния точки, то есть об информации, необходимой для однозначного решения задачи о будущем движении точки при известном внешнем воздействии, то есть при известной силе. Как известно из математики, для однозначного решения дифференциального уравнения второго порядка, каковым и является уравнение (2.5), нужна дополнительная информация. Обычно используют информацию о начальных условиях, то есть значениях начальной координаты и начальной скорости . Таким образом, механическое состояние точки известной массы в каждый момент полностью характеризуется ее координатами и скоростью: знания этих величин и силы, действующей на тело, достаточно, чтобы определить состояние точки (ее координаты и скорость) в любой последующий момент времени.

Рассмотрим одномерное движение точки массой m под действием постоянной силы, проекция которой на ось ОХ равна F_x. Из второго закона Ньютона следует, что при этом проекция ускорения . Такое движение называется равноускоренным. Решение уравнения (2.5) таково

, (2.6)

где - неизвестные константы интегрирования. Для их определения и нужно знать начальное состояние точки: ее начальную координату x ₀ и проекцию начальной скорости . Пусть эти величины известны. Тогда полагая в уравнении (2.6) t =0, а х = х ₀, получаем, что С ₂= х ₀. Продифференцируем выражение (2.6) по времени, получим, что

. (2.7)

Полагая в выражении (2.7) t =0, а , получаем, что . Определив таким образом константы С ₁ и С ₂, получаем из уравнения (2.6) закон равноускоренного одномерного движения:

. (2.8)

Второй закон Ньютона для точки постоянной массы (2.4) и получающийся из него закон равноускоренного одномерного движения (2.8) – примеры динамических закономерностей из области механики. В данной работе осуществляется проверка этих двух законов.