Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Эмпирическая функция распределения

Статистическое распределение выборки.

Пусть изучается некоторая случайная величина . С этой целью проводится независимых опытов, в результате проведения которых в распоряжении исследователя появятся лишь данные выборки генеральной совокупности (среди значений могут быть и одинаковые). Опытные значения случайной величины можно рассматривать и как значения разных независимых случайных величин с тем же распределением, что и , и, следовательно, с теми же числовыми характеристиками, которые имеет . Значения в этом случае называются реализациями случайных величин .

Если наблюдаемые значения расположить в порядке их возрастания (выполнить ранжирование), то получим вариационный ряд , где ‑ число наблюдаемых значений выборки, равных , , (объем выборки). При этом числа называют вариантами, ‑ частотами (или весами), ‑ относительными частотами (или частостями, или долями). Статистическим распределением выборки называют перечень вариант в порядке возрастания и соответствующих им частот (или относительных частот), который записывают в виде таблицы.
Статистическое распределение выборки является оценкой неизвестного распределения. При больших значениях статистическое распределение мало отличается от истинного распределения.

Пример 1. В результате тестирования группа абитуриентов набрала баллы: 5;3;0;1;4;2;5;4;1;5. Записать полученную выборку в виде: 1) вариационного ряда; 2) статистического ряда; 3) чему равен объем выборки?

Решение. 1) Выполним ранжирование статистических данных: 0;1;1;2;3;4;4;5;5;5. Получили вариационный ряд. 2) Подсчитаем частоту и частость вариантов: , , , , , и составляем таблицу:

	0,1	0,2	0,1	0,1	0,2	0,3

(объем выборки)

.

В случае, когда число значений признака (случайной величины ) велико или признак является непрерывным, составляют интервальный статистический ряд. В первую строку таблицы интервального статистического ряда записывают частичных промежутков: , , , , которые берут одинаковыми по длине. При слишком большом, как и при слишком малом, числе интервалов, трудно уловить характерные черты варьирования наблюдений. Для определения оптимального числа интервалов на практике пользуются формулой Стерджеса , а длина частичного интервала , где ‑ это разность между наибольшей и наименьшей вариантой. За начало первого интервала рекомендуется брать , . Формирование интервалов заканчивают, как только конец очередного интервала больше максимального наблюдения. Во второй строке интервального статистического ряда записывают число наблюдений (), попавших в каждый интервал ( называют интервальной частотой), или записывают ‑ относительные интервальные частоты. Статистический интервальный ряд представляется в виде следующей таблицы:

Интервалы
Частоты
Частости

(При вычислении интервальных частостей округление результатов следует проводить таким образом, чтобы ).

Одним из способов обработки вариационного ряда является построение эмпирической функции распределения. Обозначим через ‑ число наблюдений, при которых значения вариант оказываются меньше , а ‑ общее число наблюдений (объем выборки). Тогда отношение является относительной частотой попадания выборочных значений левее точки , или относительной частотой события . Эмпирической функцией распределения выборки называется функция , которая для каждого значения определяет относительную частоту события .

Пример 2. Построить эмпирическую функцию распределения и ее график по выборке:

Решение. , ‑ число наблюдений, при которых значения вариант оказываются меньше , а ‑ объем выборки. Объем выборки равен 1+2+1+6=10.

, если (наблюдений меньше 0 нет). , если (здесь ). , если (здесь ) и т.д.

Отметим, что при увеличении числа наблюдений относительная частота события приближается к вероятности этого события. Эмпирическая функция распределения является оценкой теоретической функции распределения случайной величины .
Пользуясь данными интервального статистического ряда, можно построить также эмпирическую функцию распределения, приняв в качестве «основных» точек границы интервалов: , , , , , .

Пример 3. В результате серии из 200 измерений получены величины линейных отклонений. После группировки данных выборка представлена статистическим рядом

	0,035	0,055	0,075	0,120	0,245	0,205	0,130	0,085	0,035	0,015

Построить эмпирическую функцию распределения .
Решение. Находим значения функции в «основных» точках:

	-20	-15	-10	-5
		0,035	0,09	0,165	0,285	0,530	0,735	0,865	0,95	0,985

При графическом изображении данной функции соединяют последовательно «основные» точки отрезками прямой (полученную кривую называют кумулятой).