Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Формула Ньютона–Лейбница

Пусть f (x) произвольная непрерывная на отрезке [ a, b ] функция и пусть F (x) какая-нибудь её первообразная. Разобьём отрезок [ a, b ] на n частей и составим разность

F (b) - F (a)

значений первообразной на концах интервала [ a, b ]. Эта разность равна сумме разностей, составленных для каждого отрезка разбиения,

По теореме Лагранжа о "конечном приращении" имеем

,

поэтому

.

Это равенство является точным при любом разбиении отрезка [ a, b ], но оно справедливо лишь при определённом выборе на каждом отрезке разбиения точек

c ₁ < c ₂ < … < c_n,

которые предписывается теоремой Лагранжа. Если размеры всех отрезков разбиения

[ а = х ₀, x ₁], [ х ₁, x ₂],…, [ х _{n - 1}, b ]

будут становиться всё меньше и меньше, то сумма

будет являться суммой возрастающего числа стремящихся к нулю слагаемых. Если равенство

верно всегда, то оно верно и в пределе:

.

Полученное равенство замечательно тем, что оно справедливо не только при каком-то частном выборе точек

c ₁ < c ₂ < … < c_n

по одной на отрезках деления

[ а = х ₀, x ₁], [ х ₁, x ₂],…, [ х _{n - 1}, b ]

как это предписывается теоремой Лагранжа, но при всяком выборе точек ξ ₁ < ξ ₂, <… < ξ _n по одной на отрезках деления [ а = х ₀, x ₁], [ х ₁, x ₂],…,[ х_{n - 1}, b ]:

.

Последнее соотношение является замечательным правилом суммирования бесконечно малых, открытых Лейбницем и Ньютоном: для отыскания предела суммы бесконечно малых

,

когда все отрезки, на которые разбит отрезок [ a, b ], безгранично умаляются, необходимо выполнить два действия:

• 1) постараться отыскать конечным образом какую-нибудь первообразную F (х) для функции f (x);
• 2) найдя первообразную F(х), составить разность F (b) - F (a) её значений на концах основного отрезка [ a, b ]. Эта разность и есть искомый предел.

Сопоставляя это правило с определением определённого интеграла, получим формулу Ньютона—Лейбница

.

При применении формулы Ньютона-Лейбница несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.