Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Формула полной вероятности

Читайте также:
  1. А10. Закон самоіндукції, формула.
  2. А2. Формула закону електромагнітної індукції.
  3. Абсолютная погрешность (определение и формула)
  4. Аксиоматическое определение вероятности
  5. Алгоритм разветвляющейся структуры в полной форме
  6. Анализ устойчивости исходной системы по полной модели
  7. Балансы основных фондов по полной и остаточной стоимости
  8. В экономике имеет место абсолютная гибкость заработной платы, обеспечивающая выравнивание AD и AS на уровне полной занятости
  9. Вероятности
  10. Вероятности в английском языке

Следствием основных теорем является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий:
Н1, Н2, ….Нn,
Образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.

В этом случае, вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе

Р(А)=∑Р(Hi)⋅P(A/Hi) (16)

Теорема гипотез (формула Бейеса)

Имеется полная группа несовместных гипотез Н1, Н2, …., Нn. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно Р(Н1), Р(Н2)…. Р(Нn).

Произведен опыт, в результате которого наблюдалось появление некоторого события А. Как следует изменить вероятность гипотез в связи с появлением этого события? По существу речь идет о том, чтобы найти условную вероятность Р(Нi/А) для каждой гипотезы.

Р(Нi/А) = [Р(Нi)⋅Р(Нi/A] / [∑Р(Hi)⋅P(A/Hi)], i = 1, 2, …, n (17)

5. Случайные величины (дискретные и непрерывные). Закон распределения дискретной случайной величины.

Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания будет принимать одно и только одно значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин.Пример 24.1Подбрасываем игральный кубик с гранями 1, 2, 3, 4, 5, 6. Количество выпавших очков есть случайная величина. Возможные значения этой случайной величины — число очков 1, 2, 3, 4, 5, 6, причем реализация того или иного значения случайной величины зависит от множества случайных факторов, и заранее не может быть предсказана.Пример 24.2Дальность полета снаряда из пушки — случайная величина. Действительно, заранее указать точно ее значение невозможно, поскольку на дальность влияет множество случайных факторов: сила и направление ветра, некоторые отличия в массе пороха в разных снарядах и тому подобное.В этом и последующих квантах будем обозначать случайные величины прописными буквами, например, X,Y,Z, а значения, которые может принимать случайная величина соответствующими строчными буквами: x,y,z.Различают дискретные и непрерывные случайные величины.Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения. Каждое значение с определенной вероятностью

.Непрерывной называют случайную величину, которая принимает любые значения из некоторого промежутка (возможно бесконечного).Число возможных значений дискретной случайной величины счетно (конечно или бесконечно), а число возможных значений непрерывной случайной величины несчетно. Пример 24.1 (число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика) есть пример дискретной случайной величины, а пример 24.2 (дальность полета снаряда) есть пример непрерывной случайной величины.Пример 24.3Станок производит за смену 100 деталей, причем с некоторой вероятностью деталь может оказаться бракованной. Примерами случайной величины для задачи в такой постановке будут:

·

· Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения, нужно указать еще и их вероятность.

· Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

· Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) или графически (в виде многоугольника распределения).

· Рассмотрим случайную величину X, которая принимает значения x1,x2,x3...xn с некоторой вероятностью pi, где i= 1.. n. Сумма вероятностей pi равна 1.

6. Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность распределения.

Функция распределения дискретной случайной величины

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида

x1 x2 xi
p1 p2 pi

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

 

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

Загрузка...
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

 

Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

Если функция распределения Fx (x) непрерывна, то случайная величина x называетсянепрерывной случайной величиной.

Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины px (x), которая связана с функцией распределения Fx (x) формулами

и .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .

Квантили

При решении практических задач часто требуется найти значение x, при котором функция распределения Fx (x) случайной величины x принимает заданное значение p, т.е. требуется решить уравнение Fx (x) = p. Решения такого уравнения (соответствующие значения x) в теории вероятностей называются квантилями.

Квантилью xp (p-квантилью, квантилью уровня p) случайной величины , имеющей функцию распределения Fx (x), называют решение xp уравнения Fx (x) = p, p (0, 1). Для некоторых pуравнение Fx (x) = p может иметь несколько решений, для некоторых - ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые кванитили не существуют.

Квантили, наиболее часто встречающиеся в практических задачах, имеют свои названия:

медиана - квантиль уровня0.5;

нижняя квартиль - квантиль уровня0.25;

верхняя квартиль - квантиль уровня0.75;

децили - квантили уровней0.1, 0.2, …, 0.9;

процентили - квантили уровней 0.01, 0.02, …, 0.99.

Вероятность попадания в интервал

Вероятность того, что значение случайной величины Fx (x) попадает в интервал (a, b), равнаяP(a < x < b) = Fx (b) -Fx (a), вычисляется по формулам:

- для непрерывной случайной величины и

- для дискретной случайной величины.

Если a= - , то ,

если b= , то .

Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от до :

,

т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

. (5.4.1)

Введем обозначение:

. (5.4.2)

Функция - производная функции распределения – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины .

Термины «плотность распределения», «плотность вероятности» становятся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс (так называемую «линейную плотность»).

 

7.Законы равномерного и нормального распределений


Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 19 | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2018 год. (0.011 сек.)