Читайте также:
|
|
Следствием основных теорем является так называемая формула полной вероятности.
Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий:
Н1, Н2, ….Нn,
Образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.
В этом случае, вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе
Р(А)=∑Р(Hi)⋅P(A/Hi) (16)
Теорема гипотез (формула Бейеса)
Имеется полная группа несовместных гипотез Н1, Н2, …., Нn. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно Р(Н1), Р(Н2)…. Р(Нn).
Произведен опыт, в результате которого наблюдалось появление некоторого события А. Как следует изменить вероятность гипотез в связи с появлением этого события? По существу речь идет о том, чтобы найти условную вероятность Р(Нi/А) для каждой гипотезы.
Р(Нi/А) = [Р(Нi)⋅Р(Нi/A] / [∑Р(Hi)⋅P(A/Hi)], i = 1, 2, …, n (17)
5. Случайные величины (дискретные и непрерывные). Закон распределения дискретной случайной величины.
Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания будет принимать одно и только одно значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин. Пример 24.1Подбрасываем игральный кубик с гранями 1, 2, 3, 4, 5, 6. Количество выпавших очков есть случайная величина. Возможные значения этой случайной величины — число очков 1, 2, 3, 4, 5, 6, причем реализация того или иного значения случайной величины зависит от множества случайных факторов, и заранее не может быть предсказана.Пример 24.2Дальность полета снаряда из пушки — случайная величина. Действительно, заранее указать точно ее значение невозможно, поскольку на дальность влияет множество случайных факторов: сила и направление ветра, некоторые отличия в массе пороха в разных снарядах и тому подобное. В этом и последующих квантах будем обозначать случайные величины прописными буквами, например, X,Y,Z, а значения, которые может принимать случайная величина соответствующими строчными буквами: x,y,z. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения. Каждое значение с определенной вероятностью
. Непрерывной называют случайную величину, которая принимает любые значения из некоторого промежутка (возможно бесконечного).Число возможных значений дискретной случайной величины счетно (конечно или бесконечно), а число возможных значений непрерывной случайной величины несчетно. Пример 24.1 (число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика) есть пример дискретной случайной величины, а пример 24.2 (дальность полета снаряда) есть пример непрерывной случайной величины. Пример 24.3Станок производит за смену 100 деталей, причем с некоторой вероятностью деталь может оказаться бракованной. Примерами случайной величины для задачи в такой постановке будут:
·
· Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения, нужно указать еще и их вероятность.
· Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.
· Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) или графически (в виде многоугольника распределения).
· Рассмотрим случайную величину X, которая принимает значения x1, x2, x3 ... xn с некоторой вероятностью pi, где i = 1.. n. Сумма вероятностей pi равна 1.
6. Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность распределения.
Функция распределения дискретной случайной величины
Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x 1 < x 2 < … < xi < … с вероятностями p 1 < p 2 < … < pi < …, то таблица вида
x 1 | x 2 | … | xi | … |
p 1 | p 2 | … | pi | … |
называется распределением дискретной случайной величины.
Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид
У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:
1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
Если функция распределения Fx (x) непрерывна, то случайная величина x называется непрерывной случайной величиной.
Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины px (x), которая связана с функцией распределения Fx (x) формулами
и.
Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины.
Квантили
При решении практических задач часто требуется найти значение x, при котором функция распределения Fx (x) случайной величины x принимает заданное значение p, т.е. требуется решить уравнение Fx (x) = p. Решения такого уравнения (соответствующие значения x) в теории вероятностей называются квантилями.
Квантилью xp (p -квантилью, квантилью уровня p) случайной величины, имеющей функцию распределения Fx (x), называют решение xp уравнения Fx (x) = p, p (0, 1). Для некоторых p уравнение Fx (x) = p может иметь несколько решений, для некоторых - ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые кванитили не существуют.
Квантили, наиболее часто встречающиеся в практических задачах, имеют свои названия:
медиана - квантиль уровня0.5;
нижняя квартиль - квантиль уровня0.25;
верхняя квартиль - квантиль уровня0.75;
децили - квантили уровней0.1, 0.2, …, 0.9;
процентили - квантили уровней 0.01, 0.02, …, 0.99.
Вероятность попадания в интервал
Вероятность того, что значение случайной величины Fx (x) попадает в интервал (a, b), равная P (a < x < b) = Fx (b) - Fx (a), вычисляется по формулам:
- для непрерывной случайной величины и
- для дискретной случайной величины.
Если a= -, то,
если b=, то.
Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения, которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от до:
,
т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:
. (5.4.1)
Введем обозначение:
. (5.4.2)
Функция - производная функции распределения – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины.
Термины «плотность распределения», «плотность вероятности» становятся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс (так называемую «линейную плотность»).
7.Законы равномерного и нормального распределений
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 37 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |