Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Схема повторных испытаний. Формула Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли (Пуассона, Муавра-Лапласа).

Читайте также:
  1. B. Pезультат испытаний.
  2. II. ОБОБЩЕННАЯ СТРУКТУРНАЯ СХЕМА КОМПЬЮТЕРА
  3. RS-триггеры на интегральных микросхемах.
  4. V2: Предельные теоремы теории вероятностей
  5. V2: Схемы повторных испытаний
  6. А) Схема
  7. А10. Закон самоіндукції, формула.
  8. А2. Формула закону електромагнітної індукції.
  9. Абсолютная погрешность (определение и формула)
  10. Азот айналымының схемасы?амонификация нитрификация - денитрификация

Теорема Пуассона. При большом количестве испытаний вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Однако в ряде случаев их можно заменить более простыми асимптотическими формулами. Одна из них основана на теореме Пуассона.

Если число испытаний n ® и p ® 0 так, что np ® l, l > 0, то

при любых k = 0, 1, 2, ….

Это означает, что при больших n и малых p вместо вычислений по точной формуле

можно воспользоваться приближенной формулой

.

На практике пуассоновским приближением пользуются при npq= np (1-p)< 9. Исследуем точность асимптотической формулы Пуассона на следующем примере.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если npq > 9, то для расчетов используют приближение Муавра-Лапласа

,

где 0 < p < 1, величина ограничена при n ® .

Требование ограниченности величины xk означает, что при n ® величина

k тоже должна расти вместе с величиной n. Точность формулы

растет, как с ростом величин n и k, так и по мере приближения к 0.5 величин p и q.

Исследуем точность асимптотической формулы Муавра-Лапласа на следующем примере.

Теорема Бернулли. Если x - число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью p успеха в одном испытании, то для любого e > 0 справедливо

.

Это означает, что с ростом числа испытаний n относительная частота успехов x / n приближается к вероятности p успеха в одном испытании.

Определим, сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью, больше или равной b, отклонение относительной частоты успехов x / n от вероятности p было меньше e. Т.е. найдем n, для которого выполняется неравенство

.

Доказано, что для числа n, которое обеспечивает выполнение этого неравенства, справедливо

,

где xb - решение уравнения .

Следует обратить особое внимание на замечательный факт - искомое значение n не зависит от p!

Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если каждое испытание имеет только два возможных исхода и вероятности исходов остаются неизменными для всех испытаний.

Обозначим эти вероятности как p и q. Исход с вероятностью p будем называть “успехом”, а исход с вероятностью q – “неудачей”.

Очевидно, что

Пространство элементарных событий для каждого испытания состоит из двух точек. Пространство элементарных событий для n испытаний Бернулли содержит точек, каждая из которых представляет один возможный исход составного опыта. Поскольку испытания независимы, то вероятность последовательности событий равна произведению вероятностей соответствующих исходов. Например, вероятность последовательности событий

{У, У, Н, У, Н, Н, Н}

равна произведению

.




Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 78 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав