Читайте также:
|
|
Теорема Пуассона. При большом количестве испытаний вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Однако в ряде случаев их можно заменить более простыми асимптотическими формулами. Одна из них основана на теореме Пуассона.
Если число испытаний n ® и p ® 0 так, что np ® l, l > 0, то
при любых k = 0, 1, 2, ….
Это означает, что при больших n и малых p вместо вычислений по точной формуле
можно воспользоваться приближенной формулой
.
На практике пуассоновским приближением пользуются при npq= np (1-p)< 9. Исследуем точность асимптотической формулы Пуассона на следующем примере.
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если npq > 9, то для расчетов используют приближение Муавра-Лапласа
,
где 0 < p < 1, величина ограничена при n ® .
Требование ограниченности величины xk означает, что при n ® величина
k тоже должна расти вместе с величиной n. Точность формулы
растет, как с ростом величин n и k, так и по мере приближения к 0.5 величин p и q.
Исследуем точность асимптотической формулы Муавра-Лапласа на следующем примере.
Теорема Бернулли. Если x - число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью p успеха в одном испытании, то для любого e > 0 справедливо
.
Это означает, что с ростом числа испытаний n относительная частота успехов x / n приближается к вероятности p успеха в одном испытании.
Определим, сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью, больше или равной b, отклонение относительной частоты успехов x / n от вероятности p было меньше e. Т.е. найдем n, для которого выполняется неравенство
.
Доказано, что для числа n, которое обеспечивает выполнение этого неравенства, справедливо
,
где xb - решение уравнения .
Следует обратить особое внимание на замечательный факт - искомое значение n не зависит от p!
Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если каждое испытание имеет только два возможных исхода и вероятности исходов остаются неизменными для всех испытаний.
Обозначим эти вероятности как p и q. Исход с вероятностью p будем называть “успехом”, а исход с вероятностью q – “неудачей”.
Очевидно, что
Пространство элементарных событий для каждого испытания состоит из двух точек. Пространство элементарных событий для n испытаний Бернулли содержит точек, каждая из которых представляет один возможный исход составного опыта. Поскольку испытания независимы, то вероятность последовательности событий равна произведению вероятностей соответствующих исходов. Например, вероятность последовательности событий
{У, У, Н, У, Н, Н, Н}
равна произведению
.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 78 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |