Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Асимптотические свойства эмпирической функции распределения

1. По усиленному закону больших чисел сходится почти наверное к теоретической функции распределения :

почти наверное при

2. Выборочная функция распределения является асимптотически нормальной оценкой функции распределения при условии, что :

при

5. Числовые характеристики распределений: мода, медиана, среднее.

Числовые характеристики статистического распределения: выборочное среднее, оценки дисперсии, оценки моды и медианы, оценки начальных и центральных моментов. Статистическое описание и вычисление оценок параметров двумерного случайного вектора.

Одна из задач математической статистики: по имеющейся выборке оценить значения числовых характеристик исследуемой случайной величины.

Определение 16.1. Выборочным средним называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке:

где x_i – варианты, n_i - частоты.

Замечание. Выборочное среднее служит для оценки математического ожидания исследуемой случайной величины. В дальнейшем будет рассмотрен вопрос, насколько точной является такая оценка.

Определение 16.2. Выборочной дисперсией называется

а выборочным средним квадратическим отклонением –

Так же, как в теории случайных величин, можно доказать, что справедлива следующая формула для вычисления выборочной дисперсии:

. (16.4)

Пример 1. Найдем числовые характеристики выборки, заданной статистическим рядом

Другими характеристиками вариационного ряда являются:

- мода М₀ – варианта, имеющая наибольшую частоту (в предыдущем примере М₀ = 5).

- медиана т_е - варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно (n = 2 k + 1), то m_e = x_{k+ 1}, а при четном n = 2 k . В частности, в примере 1

Оценки начальных и центральных моментов (так называемые эмпирические моменты) определяются аналогично соответствующим теоретическим моментам:

- начальным эмпирическим моментом порядка k называется

. (16.5)

В частности, , то есть начальный эмпирический момент первого порядка равен выборочному среднему.

- центральным эмпирическим моментом порядка k называется

. (16.6)

В частности, , то есть центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии.