Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Функции, непрерывные на отрезке. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Читайте также:
  1. I Кислотно-основные свойства.
  2. I Кислотные и основные свойства
  3. I. Определить основные критерии качества атмосферного воздуха.
  4. I. Основные богословские положения
  5. I. Основные задачи и направления работы библиотеки
  6. I. Основные парадигмы классической социологической теории.
  7. I. Основные положения
  8. I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ УЧЕБНОЙ ПРАКТИКИ
  9. I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ. РУКОВОДСТВО ПОДГОТОВКОЙ И НАПИСАНИЕМ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
  10. I. Основные свойства живого. Биология клетки (цитология).

Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества.

Первая теорема Больцано-Коши.Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения.Тогда существует такая точка с принадлежащая [а,b] в которой f(c)=0.

Доказательство.

Пусть, для определенности, f(a)<0, f(b)>0. Ситуация выглядит так:

Для доказательства теоремы снова используем метод деления отрезка пополам.

  1. Деление отрезков пополам.

Разделим отрезок [a, b] пополам. Середина его будет точка . Тогда возможны такие варианты:

а). В этом случае, взяв , теорему можно считать доказанной.

б) . В этом случае для дальнейшего рассмотрения оставим отрезок , который обозначим [a1, b1].

в) В этом случае для дальнейшего рассмотрения оставим отрезок , который обозначим [a1, b1].

Проделаем такую же процедуру с отрезком [a1, b1], получив отрезок [a2, b2], затем то же самое с отрезком [a2, b2], получив отрезок [a3, b3] и т.д. Заметим, что для дальнейшего рассмотрения все время оставляется тот отрезок, для которого f(an)<0 и f(bn)>0.

  1. Построение точки С.

В результате этой процедуры возможны два варианта.

А. На каком-то шаге n получится, что. В этом случае в качестве точки С следует взять и теорема будет доказана.

Б..

В этом случае мы получаем систему отрезков [an, bn], для которой

а) [a,b] É[a1, b1] É [a2, b2] É[a3, b3]…

б)

в)f(an)<0; f(bn)>0

Но тогда, по лемме о вложенных отрезках, существует . Используя непрерывность функции f(x), получим

 

т.к. всегда было f(an)<0, f(bn)>0. Сравнивая эти два неравенства получим, что f(c)=0, что и требовалось доказать.

Вторая теорема Больцано-Коши.Пустьf(x) определена и непрерывна на отрезке <a,b> и. Тогда m<C<M сÎ<a,b> f(c)=C.

Примечание. Символ < означает любой из двух символов – ( или [, а символ > - любой из двух символов - ) или ]. Таким образом, отрезок <a, b> означает любой из следующих отрезков – [a,b], (a,b], [a,b), или (a,b).

Доказательство.

Так как к супремуму и инфимуму можно подойти сколь угодно близко, то можно утверждать, что

x1Î<a, b> m<f(x1)<C

x2Î<a, b> C<f(x2)<M

Очевидно, что отрезок [x1, x2] Ì <a, b>.

Рассмотрим функцию j (x)=f(x)-C. Для нее имеем:

j (x1)=f(x1)-C<0; j (x2)=f(x2)-C>0.

Согласно первой теореме Больцано-Коши,сÎ<a, b>, такая, что j (с)=0. Но тогда эта же точка сÎ<a, b> и для нее j(с)=f(c)-C=0, т.е. f(c)=C.

Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда она ограничена на этом отрезке, т.е. существуют такие числа m и M, что x принадлежащего [a,b] f(x) больше либо равно m и меньше либо равно M.

Доказательство.

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Предположим противное – пусть, например, функция f(x) неограничена сверху.

  1. Построение последовательности. Мы предположили, что f(x) неограничена сверху на [a,b]. Это означает, что для любого числа А найдется такая точка xÎ[a,b], что f(x)>A.

Возьмем в качестве числа А числа 1, 2, 3, 4,… Тогда , что f(xn)>n.Мы получили, таким образом, некоторую последовательность {xn}Î[a,b] и удовлетворяющую свойству f(xn)>n.

  1. Выделение подпоследовательности. Так как последовательность {xn} ограничена, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся последовательность {xn}, т.е. . В силу замкнутостиотрезка [a, b] точка cÎ [a,b]. (Отметим,что в этом месте используется ограничение теоремы – замкнутость [a,b]. Если бы, например, был (a,b), то с могла бы и не принадлежать (a,b)).
  2. Сведение к противоречию.Т.к. согласно п.1 , то, переходя к пределу k®¥получим т.е. f(c)=+¥, что противоречит условию теоремы, где сказано, что f(x) определена на отрезке [a,b],что означает, что f(c) должна иметь конечное значение.

Вторая теорема Вейерштрасса.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке[a,b]. Тогда существуют такие точки x1, x2 принадлежащие [a,b], что , т.е. инфимум и супремум f(x) достигаются на [a,b].

Доказательство.

Докажем теорему только для супремума.

  1. Построение последовательности. По первой теореме Вейерштрасса, f(x) ограничена сверху на [a,b],т.е.

По свойствам супремума, к нему можно подойти сколь угодно близко. Поэтому . Беря n=1,2,3,… получим последовательность {x1, x2, x3,…}такую, что .

  1. Выделение подпоследовательности. Т.к. n a£ xn£ b, то по лемме Больцано-Вейерштрасса, из последовательности {xn} можно выделить сходящуюся подпоследовательность такую, что , причем сÎ[a,b] в силу его замкнутости.
  2. Достижение супремума. Для нашей подпоследовательности верно условие

.

Загрузка...

4. Переходя к пределу k®¥ получим

.

Но , кроме того, в силу непрерывности f(x), . В результате получим, что M£f(c)£ M, т.е. f(c)=M и супремум f(x) достигается в точке с.


Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 17 | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2018 год. (0.008 сек.)