Читайте также:
|
или 
Доказательство второго замечательного предела:
Доказательство для натуральных значений
Докажем вначале теорему для случая последовательности 
По формуле бинома Ньютона: 
Полагая 
, получим:
(1)
Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число 
убывает, поэтому величины 
возрастают. Поэтому последовательность 
— возрастающая, при этом
(2).
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство
Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
.
Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
.
Поэтому 
(3).
Итак, последовательность ограничена сверху, при этом 
выполняются неравенства (2) и (3): 
.
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность 
монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е. 
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что 
. Рассмотрим два случая:
1. Пусть 
. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: 
, где 
— это целая часть x.
Отсюда следует: 
, поэтому
.
Если , то 
. Поэтому, согласно пределу , имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов 
.
2. Пусть 
. Сделаем подстановку 
, тогда
.
Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 37 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |