Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Локальный экстремум. Достаточные критерии локальных экстремумов.

Пусть

Если f' при переходе через точку x0 меняет знак с "+" на "-", то x0 - точка локального максимума.

Если f' при переходе через точку x0 меняет знак с "-" на "+", то x0 - точка локального минимума.

Если f' при переходе через точку x0 не меняет знака, то точка x0 не является точкой локального экстремума.

Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них - локальными экстремумами функции.

Пусть функция f (х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полуокрестностью.

II Правило. Пусть f дважды дифференцируема в точке x0

Если то x0 - точка локального максимума.

Если то x0 - точка локального минимума.

III Правило. Пусть f n раз непрерывно дифференцируема в точке x0 и

Если n - четное и то x0 - точка локального максимума.

Если n - четное и то x0 - точка локального минимума.

Если n - нечетное, то x0 не является точкой локального экстремума.

2. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма

Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем математического анализа или основных теорем дифференциального исчисления, поскольку указывают на взаимосвязь производной функции в точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теорему Ферма.

Пьер Ферма (1601-1665) - французский математик. По профессии - юрист. Математикой занимался в свободное время. Ферма - один из создателей теории чисел. С его именем связаны две теоремы: великая теорема Ферма (для любого натурального числа n > 2 уравнение хn + yn = zn не имеет решений в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р - простое число и а - целое число, не делящееся на р, то а р-1 - 1 делится на р).

Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х0 (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х0 существует конечная производная f '(x0), то f '(x0) = 0.

Доказательство.

Пусть, для определенности, в точке х0 функция имеет локальный минимум, то есть f (х) f (х0), х U(х0). Тогда в силу дифференцируемости

f (х) в точке х0 получим:

при х > х0:

при х < х0:

Следовательно, эти неравенства в силу дифференцируемости имеют место одновременно лишь когда

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ферма: если х0 (а, b) является точкой минимума или максимума функции f (х) и в этой точке существует производная функции, то касательная, проведенная к графику функции

в точке (х0, f (х0)), параллельна оси Ох:

Заметим, что оба условия теоремы Ферма - интервал (а, b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума - обязательны.

Пример 1. у = х, х (-1; 1).

В точке х0 = 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условие дифференцируемости функции в точке х0).