Читайте также:
|
|
Задачи и базы ЕГЭ.
Задание B10 (№ 322395) В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 15 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 18 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.
Определение. Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называют совместными.
Теорема. Для любых двух совместимых событий справедливо равенство
P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(AÇB),
То есть вероятность объединения двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления.
Решение. Согласно вопросу задачи, нас интересует наличие кофе в двух автоматах по истечении одного дня. Поэтому возможными исходами рассматриваемого опыта являются: U1={в первом автомате остался кофе, во втором автомате остался кофе}={I+; II+} здесь и далее I+ – в первом автомате остался кофе, II- - во втором автомате закончился кофе, U2={в первом автомате остался кофе, во втором автомате закончился кофе}={I+; II-}, U3={в первом автомате закончился кофе, во втором автомате остался кофе}={I-; II+} и U4={в первом автомате закончился кофе, во втором закончился кофе}={I-; II-}. Таким образом, множество возможных исходов рассматриваемого опыта состоит из четырёх элементов: U1, U2, U3 и U4, причём вероятность исхода U4={I-; II-} нам известна, и она равна 0,16. Заметим, что исходы I- – в первом автомате закончился кофе и II- - во втором автомате закончился кофе не являются независимыми. Действительно, если предположить обратное, то по теореме о вероятности совместного осуществления двух независимых событий вероятность исхода U4={I-; II-} получится равной, тогда как по условию задачи эта вероятность равна 0,16. Кроме того, поскольку оба исхода I- и II- могут наступить одновременно, то эти исходы являются совместными. А значит, вероятность события D=(I-II-) – «кофе закончится хотя бы в одном из автоматов», которому благоприятствуют исходы U2={I+; II-}, U3={I-; II+} и U4={I-; II-}, согласно теореме о вероятности объединения двух совместных событий, равна: P(I-II-)=P(I-)+P(II-)-P(I-II-)=0,3+0,3-0,16=0,44. Событие C – «к концу дня кофе остался в обоих автоматах» является противоположным событию D=(I-II-) – «кофе закончится хотя бы в одном из автоматов», а значит, вероятность события C равна: 1-0,44=0,56.
Ответ. 0,56.
Определение. События называются противоположными друг другу, если любой исход благоприятен одному и только одному из них.
Теорема (о вероятности противоположных событий). Для любого события A имеем: P(`A)=1-P(A).
Решение. Построим множество возможных исходов рассматриваемого опыта. В соответствии с вопросом задачи, нас интересует результат работы трёх ламп по истечении одного года. Поэтому, исходы нашего опыта таковы:
U1={первая лампа горит, вторая лампа горит, третья лампа горит}=(Г, Г, Г), причем.
U2={первая лампа горит, вторая лампа горит, третья лампа перегорела}=(Г, Г, П), причем.
U3={первая лампа горит, вторая лампа перегорела, третья лампа перегорела}=(Г, П, П), причем.
U4={первая лампа перегорела, вторая лампа перегорела, третья лампа горит}=(П, П, Г), причем.
U5={первая лампа перегорела, вторая лампа горит, третья лампа горит}=(П, Г, Г), причем.
U6={первая лампа перегорела, вторая лампа перегорела, третья лампа перегорела}=(П, Г, П), причем.
U7={первая лампа горит, вторая лампа перегорела, третья лампа горит}=(Г, П, Г), причем.
U8={первая лампа перегорела, вторая лампа перегорела, третья лампа перегорела}=(П, П, П), причем.
Таким образом, множество U всех исходов рассматриваемого опыта состоит из восьми элементов U= {U1, U2, U3 ,… U7, U8}. Заметим, что исходы опыта не являются равновероятными.
Событие А - «в течение года хотя бы одна лампа не перегорит» является противоположным событию - «в течении года перегорят все три лампы» (действительно, событию А благоприятствуют исходы U1, U2, U3 ,… U7, а событию благоприятствует исход U8), поэтому искомая вероятность, согласно теореме о вероятности противоположных событий, равна разности 1-. Найдем вероятность события.. Таким образом, искомая вероятность, равная разности 1-, равна 0,980317.
Ответ. 0,980317.
Отметим, что искомую вероятность можно найти иначе, сложив вероятности исходов U1, U2, U3 ,… U7. Имеем,. Совпадение двух результатов, в частности, позволяет убедиться в том, что множество исходов, скорее всего, составлено правильно и все исходы рассматриваемого опыта учтены.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 40 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |