Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Воспользуемся формулой Лейбница, которая утверждает, что если

Читайте также:
  1. MEDLINE - это база данных, которая содержит...
  2. А. Платонов в своей сказке утверждает, что надо много трудиться, чтобы жить и не умереть, чтобы светить ярким огнём другим и звать к себе безмолвным голосом радости жизни.
  3. Аллергия представляет собой качественно измененную (патологическую) форму иммунологической реактивности организма, которая сопровождается повреждением собственных клеток и тканей.
  4. Б) остаточная дисперсия, которая оценивает влияние всех прочих факторов
  5. В 2011 году началось проектирование КАД2, которая пройдёт на расстоянии 1-2 км к 2017 году, а к 2020 году будет полностью введена в строй.
  6. В соответствии с российским законодательством банк -это ... организация, которая выполняет депозитные, расчетные и ссудные операции.
  7. Введение Философия главная наука, которая исследует все сферы общества
  8. Вопрос 1. Как называется величина, которая определяется как превышение сроков грузооборота (время доставки товара от поставщика покупателю) над сроками документооборота?
  9. Воспользуемся алгоритмом №2

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО КУРСУ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Решение

4.

Задание:

Найти экстремум функции при условии .

Решить задачу с помощью введения функции Лагранжа. Нарисовать

- график условия,

- изолинии, проходящие через стационарные точки функции Лагранжа,

- градиент функций и в этих точках.

 

 

Решение:

Построим функцию Лагранжа:

Составим систему из 3 уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа по x, y и λ:

Из второго уравнения получаем две возможности:

1) y = 0

Тогда из третьего уравнения получаем

;

Удостоверимся, что не обращается в нуль:

Если , то из первого уравнения получаем

Если , то из первого уравнения получаем

2)

Тогда из первого уравнения получаем противоречие:

Итак, , .

Проверим необходимое условие условного экстремума для точек и

- дифференциал функции Лагранжа как квадратическая форма должен быть положительно или отрицательно определен.

- форма отрицательно определена, в точке (3,0) локальный условный максимум

- форма положительно определена, в точке (-1,0) локальный условный минимум

График условия:

 

Синяя линия – точки параболоида , удовлетворяющие условию .

График изолиний:

Красные точки - (3,0) и (-1,0), зеленые линии – изолинии, проходящие через эти точки.

=(6,0)

=(-2,0)

=(4,0)

=(-4,0)

Градиенты на графике(для ):

 

6.

Задание:

Спрос и предложение зависят от цены следующим образом: , . Найти наибольшее значение дохода и определить эластичность функции дохода в точке максимума.

 

Решение:

Функция дохода следующим образом зависит от цены, спроса и предложения:

Найдем пересечение

То есть

Функция возрастает на отрезке [0,2], значит достигает своего максимума при p = 2.

Значит, максимум функции I(p) на луче [0,∞) достигается на луче [2, ∞).

Функция = достигает своего максимума в точке (как парабола лучами вниз)

Эластичность определяется следующим образом:

= = = + 1

Пусть , тогда

= + 1 = +1 = +1

И в точке p=6 эластичность принимает значение 0.

7.

Задание:

Доказать, что градиент функции в точке и изолиния, проходящая через эту точку, ортогональны.

 

Решение:

Уравнение изолинии выглядит так: ,

В окрестности рассматриваемой точки существует однозначная параметризация линии , без ограничения общности будем считать, что

Тогда уравнение изолинии будет иметь вид:

Найдем направляющий вектор изолинии.

Известно, что – тангенс угла наклона касательной.

Тогда - направляющий вектор этой касательной, т.е. искомый направляющий вектор изолинии.

Осталось показать, что скалярное произведение градиента и направляющего вектора изолинии

равно нулю.

Для этого продифференцируем уравнение изолинии по :

*

Последнее выражение и есть скалярное произведение и , и мы показали, что оно равно 0.

 

8.

Задание:

Вывести формулу для нахождения производной функции

.

Решение:

Воспользуемся формулой Лейбница, которая утверждает, что если

То

Применим формулу:




Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 42 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Коэффициент прибытия кадров| Экзаменационные задачи.

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав