Читайте также:
|
|
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО КУРСУ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Решение
4.
Задание:
Найти экстремум функции при условии .
Решить задачу с помощью введения функции Лагранжа. Нарисовать
- график условия,
- изолинии, проходящие через стационарные точки функции Лагранжа,
- градиент функций и в этих точках.
Решение:
Построим функцию Лагранжа:
Составим систему из 3 уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа по x, y и λ:
Из второго уравнения получаем две возможности:
1) y = 0
Тогда из третьего уравнения получаем
;
Удостоверимся, что не обращается в нуль:
Если , то из первого уравнения получаем
Если , то из первого уравнения получаем
2)
Тогда из первого уравнения получаем противоречие:
Итак, , .
Проверим необходимое условие условного экстремума для точек и
- дифференциал функции Лагранжа как квадратическая форма должен быть положительно или отрицательно определен.
- форма отрицательно определена, в точке (3,0) локальный условный максимум
- форма положительно определена, в точке (-1,0) локальный условный минимум
График условия:
Синяя линия – точки параболоида , удовлетворяющие условию .
График изолиний:
Красные точки - (3,0) и (-1,0), зеленые линии – изолинии, проходящие через эти точки.
=(6,0)
=(-2,0)
=(4,0)
=(-4,0)
Градиенты на графике(для ):
6.
Задание:
Спрос и предложение зависят от цены следующим образом: , . Найти наибольшее значение дохода и определить эластичность функции дохода в точке максимума.
Решение:
Функция дохода следующим образом зависит от цены, спроса и предложения:
Найдем пересечение
То есть
Функция возрастает на отрезке [0,2], значит достигает своего максимума при p = 2.
Значит, максимум функции I(p) на луче [0,∞) достигается на луче [2, ∞).
Функция = достигает своего максимума в точке (как парабола лучами вниз)
Эластичность определяется следующим образом:
= = = + 1
Пусть , тогда
= + 1 = +1 = +1
И в точке p=6 эластичность принимает значение 0.
7.
Задание:
Доказать, что градиент функции в точке и изолиния, проходящая через эту точку, ортогональны.
Решение:
Уравнение изолинии выглядит так: ,
В окрестности рассматриваемой точки существует однозначная параметризация линии , без ограничения общности будем считать, что
Тогда уравнение изолинии будет иметь вид:
Найдем направляющий вектор изолинии.
Известно, что – тангенс угла наклона касательной.
Тогда - направляющий вектор этой касательной, т.е. искомый направляющий вектор изолинии.
Осталось показать, что скалярное произведение градиента и направляющего вектора изолинии
равно нулю.
Для этого продифференцируем уравнение изолинии по :
*
Последнее выражение и есть скалярное произведение и , и мы показали, что оно равно 0.
8.
Задание:
Вывести формулу для нахождения производной функции
.
Решение:
Воспользуемся формулой Лейбница, которая утверждает, что если
То
Применим формулу:
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 42 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Коэффициент прибытия кадров | | | Экзаменационные задачи. |