Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Построение доверительных интервалов.

1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.

Пусть исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с известным средним квадратическим σ, и требуется по значению выборочного среднего оценить ее математическое ожидание а. Будем рассматривать выборочное среднее как случайную величину а значения вариант выборки х ₁, х ₂,…, х_п как одинаково распределенные независимые случайные величины Х ₁, Х ₂,…, Х_п, каждая из которых имеет математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. При этом М () = а, (используем свойства математического ожидания и дисперсии суммы независимых случайных величин). Оценим вероятность выполнения неравенства . Применим формулу для вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:

р () = 2Ф . Тогда, с учетом того, что , р () = 2Ф =

=2Ф(t), где . Отсюда , и предыдущее равенство можно переписать так:

.

Итак, значение математического ожидания а с вероятностью (надежностью) γ попадает в интервал , где значение t определяется из таблиц для функции Лапласа так, чтобы выполнялось равенство 2Ф(t) = γ.

2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.

Если известно, что исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с неизвестным средним квадратическим отклонением, то для поиска доверительного интервала для ее математического ожидания построим новую случайную величину

, (18.2)

где - выборочное среднее, s – исправленная дисперсия, п – объем выборки. Эта случайная величина, возможные значения которой будем обозначать t, имеет распределение Стьюдента (см. лекцию 12) с k = n – 1 степенями свободы.

Поскольку плотность распределения Стьюдента , где , явным образом не зависит от а и σ, можно задать вероятность ее попадания в некоторый интервал (- t_γ, t_γ), учитывая четность плотности распределения, следующим образом: . Отсюда получаем: (18.3)

Таким образом, получен доверительный интервал для а, где t_γ можно найти по соответствую-щей таблице при заданных п и γ.

26. Элементы теории корреляции. Выборочное уравнение регрессии. Линейная регрессия. Пусть составляющие Х и Y двумерной случайной величины (Х, Y) зависимы. Будем считать, что одну из них можно приближенно представить как линейную функцию другой, например Y ≈ g (Х) = α + βХ, (11.2)и определим параметры α и β с помощью метода наименьших квадратов. Определение 11.2. Функция g (Х) = α + βХ называется наилучшим приближением Y в смысле метода наименьших квадратов, если математическое ожидание М (Y - g (Х))² принимает наименьшее возможное значение; функцию g (Х) называют среднеквадратической регрессией Y на Х. Теорема 11.1. Линейная средняя квадратическая регрессия Y на Х имеет вид: (11.3)где - коэффициент корреляции Х и Y. Доказательство. Рассмотрим функцию F (α, β) = M (Y – α – βX)² (11.4)и преобразуем ее, учитывая соот-ношения M (X – m_x) = M (Y – m_y) = 0, M ((X – m_x)(Y – m_y)) = = K_xy = rσ_xσ_y: .Найдем стационарные точки полученной функции, решив систему

Решением системы будет .Можно проверить, что при этих значениях функция F (α, β) имеет минимум, что доказывает утверждение теоремы. Определение 11.3. Коэффициент называется коэффициентом регрессии Y на Х, а прямая - (11.5)- прямой среднеквадратической регрессии Y на Х.

Подставив координаты стационарной точки в равенство (11.4), можно найти минимальное значение функции F (α, β), равное Эта величина называется остаточной дисперсией Y относительно Х и характеризует величину ошибки, допускаемой при замене Y на g (Х) = α+βХ. При остаточная дисперсия равна 0, то есть равенство (11.2) является не приближенным, а точным. Следовательно, при Y и Х связаны линейной функциональной зависимостью. Аналогично можно получить прямую среднеквадратической регрессии Х на Y: (11.6) и остаточную дисперсию Х относительно Y. При обе прямые регрессии совпадают. Решив систему из уравнений (11.5) и (11.6), можно найти точку пересечения прямых регрессии – точку с координатами (т_х, т_у), называемую центром совместного распределения величин Х и Y. Линейная корреляция. Для двумерной случайной величины (Х, Y) можно ввести так называемое условное математи-ческое ожидание Y при Х = х. Для дискретной случайной величины оно определяется как (11.7) для непрерывной случайной величины – . (11.8) Определение 11.4. Функцией регрессии Y на Х называется условное математическое ожидание M (Y / x) = f (x). Аналогично определяется условное математическое ожидание Х и функция регрессии Х на Y. Определение 11.5. Если обе функции регрессии Х на Y и Y на Х линейны, то говорят, что Х и Y связаны линейной корреляционной зависимостью. При этом графики линейных функций регрессии являются прямыми линиями, причем можно доказать, что эти линии совпадают с прямыми среднеквадратической регрессии. Теорема. Если двумерная случайная величина (Х, Y) распределена нормально, то Х и Y связаны линейной корреляционной зависимостью. Доказательство. Найдем условный закон распределения Y при Х = х , используя формулу двумерной плотности вероятности нормального распределения (11.1) и формулу плотности вероятности Х: . (11.9) Сделаем замену . Тогда

= .

Полученное распределение является нормальным, а его мате-матическое ожидание есть функция регрессии Y на Х (см. опреде-ление 11.4)). Аналогично можно получить функцию регрессии Х на Y: . Обе функции регрессии линейны, поэтому корреляция между Х и Y линейна, что и требовалось доказать. При этом уравнения прямых регрессии имеют вид , , то есть совпадают с уравнениями прямых среднеквадратической регрессии (см. формулы (11.5), (11.6)).