Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Понятие множества.

Глава 1. Введение в математический анализ

Содержание:

Тема 1.1. Множества. Операции над множествами. 2

Понятие множества. 2

Способы задания множеств: 2

Операции над множествами.. 3

Тема 1.2. Понятие функции. 5

Основные понятия. 5

Свойства функции.. 5

Тема 1.3. Предел функции. 6

Предел функции на бесконечности. 6

Предел функции в точке. 6

Бесконечно малые величины. 7

Свойства бесконечно малых величин: 7

Бесконечно большие величины. 7

Свойства бесконечно больших величин: 7

Свойства пределов. 8

Замечательные пределы. 8

Тема 1.4. Непрерывность функции. 9

Определение непрерывности функции. Точки разрыва. 9

Основные теоремы о непрерывных функциях. 9

Непрерывность элементарных функций. 9

Свойства функций, непрерывных на отрезке. 9

Тема 1.5. Производная функции. 10

Понятие производной.. 10

Основные правила дифференцирования. 10

Таблица производных.. 10

Применение производной в исследовании функции и построении её графика.. 11

Тема 1.6. Дифференциал функции. 12

Понятие дифференциала.. 12

Свойства дифференциала: 12

Применение дифференциала в приближённых вычислениях. 12

Дифференциалы высших порядков. 12

Тема 1.1. Множества. Операции над множествами.

Понятие множества.

Множество – совокупность некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами множества.

Обозначения:

1. Множества – А, В, С, М…
2. Элементы множества – а, b, с …
3. а элемент множества М - а ÎМ ("а принадлежит М")
4. b не является элементом множества М - b ÏМ ("а не принадлежит М")

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Æ

Множество А называется подмножеством множества В (обозначается А Í В), если всякий элемент из А является элементом В (см. рис.). Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Пример: В – множество студентов колледжа

А – множество студентов-второкурсников

Содержательные примеры множеств и их возможные обозначения:

N - множество натуральных чисел 1, 2, 3,...;

N ₁ - множество натуральных чисел, не превосходящих 100;

R - множество всех действительных чисел и т.д.

Два определения равенства множеств:

I. Множества А и В равны (А = В}, если их элементы совпадают.

П. Множества А и В равны, если А Í В и В Í А.

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае - бесконечным (например, множества N, R - бесконечные множества). Число элементов в конечном множестве М называется его мощностью и обозначается | М|.

Множество мощности 0, т.е. не содержащее элементов, называется пустым (обозначается Æ: |Æ| = 0.

Способы задания множеств:

• Перечислением, т.е. списком своих элементов. Списком можно задать лишь конечные множества. Обозначение списка - в фигурных скобках. Например, множество А устройств домашнего компьютера, состоящего из процессорного блока а, а также периферийных устройств В (монито­ра b, клавиатуры с и принтера d), может быть представлено списком:

А = {а, В} или А = {а, b, с, d}.

(Задание типа N = 1,2,3,... - не список, но лишь допустимое условное обозначение.)

• Описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы; обозначается:

М= {х | Р(х)} или М= {х: Р(х)}.

(«Множество М состоит из элементов х таких, что х обладает свойством Р») Например, множество А периферийных устройств персонального компьютера PC может быть опре­делено:

А = {х: х - периферийное устройство персонального компьютера PC}.

Если свойство элементов множества М может быть описано коротким выражением, это упрощает его символьное представление. Например, множество всех натуральных чет­ных чисел М_2п может быть представлено:

М_2п= {x:x = 2n,nÎN}.

Пример 1. Задать различными способами множество N всех натуральных чисел: 1,2,3,...

Þ Списком множество N задать нельзя ввиду его бесконечности. (способ перечисления)

Þ Описание характеристического свойства элементов множества N:
N= {х: х - целое положительное число}. (описание характеристических свойств)

Пример 2. Задать различными способами множество М всех четных чисел 2,4,6,..., не превышающих 100.

Þ М_2n = {2,4,6,..., 100}. (способ перечисления)

Þ М_2п= {п: п - целое положительное число, не превышающее 100}
или М_2п = {п: п ÎN, n /2 Î N, п £ 100}. (описание характеристических свойств)