Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Замечание. Число , указывающее порядок производной, заключается в скобки.

Читайте также:
  1. Заключительное замечание.
  2. Замечание
  3. Замечание
  4. Замечание
  5. Замечание 2
  6. Замечание.
  7. Замечание.

Число , указывающее порядок производной, заключается в скобки.

18. Таблица основных формул дифференцирования (с примерами)

№1

Задание. Найти производную функции
Решение. Для нахождения производной данной функции используем правила дифференцирования и таблицу производных. Так как производная суммы/разности равна сумме/разности производных, то постоянный множитель можно вынести за знак производной Воспользуемся формулой для производной степенной функции:
Ответ.

№2

Задание. Найти производную функции
Решение. Производная суммы равна сумме производных Воспользуемся формулами из таблицы производных - формулы производных степенной, тригонометрической и логарифмической функций:
Ответ.

 

20.Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.Правило Лопиталя Теорема 7 (правило Лопиталя). Пусть множество (a) - проколотая d - окрестность точки a, функции f(x),g(x) определены и дифференцируемы на , g'(x) ¹ 0, lim x ® af (x) = lim x ® ag (x) = 0. Тогда если существует lim x ® af'(x)/g'(x), то существует и предел lim x ® af(x)/g(x), причем справедливо соотношение lim x ® af (x) /g (x) = lim x ® af' (x) /g' (x). Данная теорема без изменений переносится на случай неопределенности вида ¥/¥. Замечание. Сформулированная теорема представляет собой лишь достаточное условие. То есть предел отношения функций может существовать и в случае, когда предел отношения производных не существует. Например, пусть f(x) = x+sin x, g(x) = x-sin x, x® ¥. Попробуем применить правило Лопиталя lim x ® ¥(x+ sin x) / (x- sin x) = ¥ / ¥ = =lim x ® ¥(x+ sin x) '/ (x- sin x) ' = lim x ® ¥ (1+cos x) / (1-cos x), но предел последнего выражения не существует, однако, если поделить числитель и знаменатель на x, то легко получим конечное значения предела: lim x ® ¥(x+ sin x) / (x- sin x) = lim x ® ¥ (1+sin x/x) / (1-sin x/x) = 1 Замечание. Если производные f'(x),g'(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. предел отношения первых производных можно заменить пределом отношения вторых производных и т.д. Кроме рассмотренных выше видов неопределенностей вида 0/0 и ¥/¥ часто встречаются неопределенности видов: 0· ¥, ¥-¥, 1¥, 0¥, ¥0. Все эти неопределенности сводятся к двум вида 0/0 и ¥/¥ путем алгебраических преобразований. Продемонстрируем это на примере неопределенностей вида 1¥, 0¥, ¥0. Каждая из этих неопределенностей имеет вид
y = f (x) g (x), (9)

где limx® af(x) = 1;0;¥, limx® ag(x) = ¥;0, Прологарифмировав выражение (9), получим (при f(x)>0)

ln y = g (x)ln f (x).

Последнее выражение представляет собой при x® a неопределенность вида 0·¥. Покажем, как свести неопределенность вида 0· ¥ к неопределенности вида 0/0 или ¥/¥.

Пусть y = f(x)g(x), где limx® af(x) = 0, а limx® ag(x) = ¥. Но y можно записать иначе, а именно y = f(x)/(1/g(x)), а данное выражение представляет собой при x® a неопределенность вида 0/0.

Проиллюстрируем на примерах применение правила Лопиталя.

Пример 12. Применяя правило Лопиталя, вычислить пределы:

  1. limx® 0(eax-e-2ax)/ln (1+x) = 0/0= limx® 0(aeax+2ae-2ax)/(1/(1+x)) = 3a.
  2. lim x ® ¥(e 1 /x 2 - 1) / (2 arctg x 2-p) = 0 / 0= lim x ® ¥(-2 x- 3 e 1 /x 2) / (4 x/ (1 +x 4)) = lim x ® ¥ -e 1 /x 2(1 +x 4) / 2 x 4 = -1 / 2.
  3. limx® 1(1/ln x-1/(x-1)) = ¥-¥ = limx® 1 (x-1-ln x)/((x-1)ln x) = limx® 1(1-1/x)/(ln x+1-1/x) = limx® 1(x-1)/(xln x+x-1) = limx® 11/(ln x+2) = 1/2.
  4. limx® +0(1/x)sin x. Пусть y = (1/x)sin x, тогда ln y = sin xln (1/x),

lim x ® +0ln y = lim lim x ® +0sin x ln (1 /x). lim x ® +0ln y = lim x ® +0(-ln x) / (1 / sin x) = lim x ® +0(-1 /x) / (-cos x/ sin2 x) = lim x ® +0 sin2 x/ (x cos x) = 0.

Следовательно, limx® 0 y = e0 = 1.

 

 



Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 25 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав