Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Экстремум функции.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство f (x) ≤ (≥) f (x₀)

Для того чтобы функция имела экстремум в точке, необходимо, чтобы ее производная равнялась нулю или не существовала.

Если при переходе через точку x ₀ производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то точка x ₀ есть точка максимума (минимума).

Если первая производная дважды дифференцируемой функции в точке равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна (отрицатель-на), то данная точка есть точка минимума (максимума).

Выпуклость функции. Точки перегиба.

Функция называется выпуклой вниз – вогнутой (выпуклой вверх) на промежутке, если для любых двух значений x ₁, x ₂ из этого промежутка выполняется неравенство f ( ½ (x ₁ + x ₂ )) ≤ (≥) ½ (f (x₁) + f (x₂))

Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает)

Если вторая производная положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка, то функция выпукла вниз (вверх) на этом проме-жутке.

Точкой перегиба называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Вторая производная функции в точке перегиба равна нулю.

Если вторая производная при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то данная точка является точкой перегиба.

Асимптоты графика функции.

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки от начала координат.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x ₀, кроме, быть может, самой этой точки и хотя бы один из пределов функции при x → x ₀ слева или справа равен бесконечности, тогда прямая x = x ₀ является вертикальной асимптотой.

Пусть функция определена при достаточно больших x и существует конечный предел функции при x →∞, тогда прямая y = b является горизон-тальной асимптотой.

Пусть функция определена при достаточно больших x и существуют конечные пределы lim (f (x) / x)= k и lim (f (x) – kх) = b при x →∞, тогда прямая y = kx + b является наклонной асимптотой.

Общая схема исследования функции.

- D (y);

- четность – нечетность;

- вертикальные асимптоты;

- горизонтальные или наклонные асимптоты;

- экстремумы и интервалы монотонности;

- интервалы выпуклости и точки перегиба;

- точки пересечения с осями и дополнительные точки.