Читайте также:
|
|
Основные понятия».
В теории вероятностей часто встречается и используется следующая пара понятий:
Событие (случайное) – возможный результат (исход) испытания, который нельзя наверняка предугадать до проведения самого испытания.
Испытание (опыт) – комплекс условий, при которых может произойти событие.
События обозначаются большими латинскими буквами.
Событие называется достоверным в данном испытании, если оно неизбежно произойдет в результате данного испытания или опыта (восход солнца).
Событие называется невозможным в данном испытании, если оно заведомо не произойдет в результате данного испытания (крайне низкий курс валюты).
Два события называются несовместными, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого.
Два события называются противоположными, если они являются несовместными, причем одно из них должно обязательно произойти.
Обозначение противоположного события - Ā.
Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А неизбежно влечет наступление события В (А=>В).
Два события называются эквивалентными, если наступление каждого из них благоприятствует наступлению другого (А=В).
Невозможные события часто обозначаются ø.
Пространство элементарных событий».
Пространство элементарных событий – совокупность всех существенных для данного испытания исходов (элементарных событий), являющихся попарно несовместными. Обозначение: Ω={..,..}.
Классическое определение вероятности».
Пусть дано: Ω, состоящее из n элементарных событий, т.е. Ω={1,2,3.,..,n}. Элементарные события считаются равновозможными, т.е. не существует объективных оснований считать одно из них наступающим более часто, чем другое.
Вероятностью события А является отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А к общему числу элементарных событий:
Р(А)=m/n
m – число элементарных событий, благоприятствующих событию А.
Основные свойства вероятности:
Суммой событий А и В называется событие, обозначаемое А+В и состоящее в наступлении хотя бы одного из двух событий А и В.
Произведением событий А и В называется событие, обозначаемое А*В и состоящее в наступлении каждого из двух событий.
Частный случай: для несовместных событий А и В (АВ=ø) выполняется равенство:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Для ряда попарно несовместных событий справедливо:
Р(А1+А2+...+Ак)=Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Ак)
Общий случай: для произвольных событий А и В справедливо равенство:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Условной вероятностью события А относительно события В называется вероятность события А, вычисленное в предположении, что событие В наступило.
Обозначение: Р(А|B), Рв(А)
Общий вид теоремы:
Р(А)*P(B|A)=P(AB)
m/n*k/m=k/n
Пример 1:
A=(4,5,6)
B=Четное
P(A)=1/2
P(B)=1/2
P(A|B)=2/3
P(AB)=1/3
Пример 2:
В магазине имеется 10 партий товара, из которых 3 не сертифицированных. Ревизор проводит контроль 2-х партий. Какова вероятность обнаружить наличие не сертифицированного товара.
Пусть событие А состоит в том, что первая отобранная пара оказалась сертифицированной. Аналогично событие В: вторая пара оказалась сертифицированной. Тогда АВ – событие, состоящее в том, что в результате проверки не сертифицированный товар не обнаружен.
Р(А)=7/10
Р(В|A)=6/9=2/3
P(AB)=7/10*2/3=14/30=7/15
Событие, вероятность которого требуется рассчитать, является противоположным событию Р.
Р=1-7/15=8/15
Событие А не зависит от события В, если вероятность события А не меняется при наступлении события В.
Р(А)=Р(А|B)
m/n=k/l
l/n=n/m
P(B)=P(B|A)
Вывод: если А не зависит от В, то и В не зависит от А.
Для независимых событий А и В теорема умножения вероятностей обретает наиболее простую форму:
Р(A|B)=P(A)*P(B)
Вероятность произведения событий равна произведению вероятностей.
Если событие А не зависит от В, то и Ā не зависит от В.
Набор попарно независимых событий (А1,А2,...,Аk) – если любые два из них независимы.
Набор событий (А1,А2,...,Аk) – набор независимых совокупностей, если являются независимыми любое из этих событий и любое произведение событий из оставшихся.
Для независимых совокупностей событий справедливо очевидное обобщение – теорема умножения вероятностей:
Р(А1А2...Ак)=Р(А1)*Р(А2)*...*Р(Ак)
Вероятность наступления хотя бы одного события.
Пусть А1, А2,...,Ак – независимые в совокупности события, причем Р(Аi)=pi, тогда А – событие состоящее из хотя бы одного события, Ā – когда не наступило не одно событие.
Ā-у
Ā=Ā1Ā2...Āк
Р(Ā)=Р(Ā1)Р(Ā2)...Р(Āк)=(1-p1)(1-p2)….(1-pk)
P(A)=1-P(Ā)=1-q1q2…qk
Набор событий H1+H2+…+Hk образует полную группу событий, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие:
1) Hi*Hj=ø (i≠j)
2) H1+H2+…+Hk=Ω
Пусть H1+H2+…+Hk – полная группа событий. Пусть А – некоторое событие, вероятность которого нас интересует.
Справедлива цепочка равенств:
А=АΩ=А(А1Н1+...+АкНк)
События попарно несовместны. Применима теорема сложения вероятностей в простейшей её форме:
Р(А)=Р(АН1)+Р(АН2)+...+Р(АНк)
По теореме умножения вероятностей:
Р(АНi)=P(А|H)* P(Hi), i=1,2...к
Получаем формулу полной вероятности:
k
P(A)=Σ P(A|Hi)*P(Hi)
i=1
P(A)=P(A|H1)*P(H1)+P(A|H2)*P(H2)+….+P(A|Hk)*P(Hk)
Формула полной вероятности справедлива и в том случае, когда H1+H2+…+Hk попарно несовместны, но не составляют в сумме достоверного события Ω. Вместо этого должно выполняться условие:
А=˃ H1+H2+…+Hk
Р(Н1|A)*P(A)=P(A|H1)=P(A|H1)*P(H1)
Р(Hi|A)=P(A) / P(A|Hi)*P(Hi)
Формула Байеса справедлива при тех же условиях, что и формула полной вероятности. Формула Байеса позволяет уточнить вероятности гипотез H1+H2+…+Hk по результатам проведения опытов или экспериментов, связанных с наступлением события А.
Условия задачи: монета брошена 2 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.
Решение:
А – событие, заключающееся в выпадении хотя бы одного герба.
Р(А)=3/4
Р(А)=1-Р(Ā)=1-1/4=3/4
А=А1А2+А1Ā2+Ā1А2
События попарно несовместны, следовательно Р(А)+Р(А1А2) +Р(А1Ā2)+Р(Ā1А2)
Р(А1А2)=Р(А1)*Р(А2)=1/2*1/2=1/4
Р(А1Ā2)=Р(А1)* Р(Ā2)=1/2*1/2=1/4
Р(Ā1А2)=Р(Ā1)* Р(А2)=1/2*1/2=1/4
Р(А)=1/4+1/4=1/4=3/4
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу = 1.
Комбинаторика – раздел математики, изучающий свойства множеств с конечным числом элементов.
Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество, содержащее все n элементов.
Пример:пусть есть множество {1,2,3}. Строим перестановки: (1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), (3,2,1), (2,1,3), (3,1,2)
Число перестановок из n элементов обозначается Pn и вычисляется по формуле:
Pn=n!
0!=1
n!=(n-1)! * n.
Факториал очень быстро возрастает при увеличении n. Это приводит к усложнению проведения практических вычислений.
Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное подмножество, содержащее ровно m элементов (m<n).
Пример: {1,2,3} n=3. Строим размещения: m=1 (1), (2), (3). m=2 (1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2). m=3 (1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), (3,2,1), (2,1,3), (3,1,2) – построено при рассмотрении перестановок. m=0 ø.
Число размещений из n по m обозначается А(nm) и вычисляется по формуле:
А(nm)=n!/(n-m)!
Сочетанием из n элементов по m называется любое подмножество без учета порядка, содержащее ровно m элементов.
Пример: {1,2,3} n=3. Строим сочетания: m=1 {1}, {2}, {3}. m=2 {1,2}, {1,3}, (2,3). m=3 {1,2,3}.
Число сочетаний обозначается С(nm) и вычисляется по формуле:
С(nm)=n!/m!(n-m)!
Общее соотношение между рассмотренными характеристиками:
А(nm)=С(nm)*Рm
Основные свойства числа сочетаний:
1 С(0m)= 1
C(1n) = n
C(nn) = 1
2 C(nm) = C(n n-m)
3 C(n0)+C(n1)+C(n2)+…+C(nn)=2n
4 (a+b)2==a2+2ab+b2
5 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
Для произвольного значения n (см. тетр.): Бином Ньютона
,
где
Пример1:
В читальном зале имеется 6 учебников, из которых 3 – нового издания. Студент берет 2 книжки. Найти вероятность того, что оба учебника нового издания.
Решение:
1) Решение с использованием числа сочетаний. Р=m/n, C(6 2)=n, C(3 2)=m. P=3!/2!1!: 3!/4!2!= 1/5
2) Пусть А1 – событие, состоящее в том, что первая книга нового издания, А2 – событие, состоящее в том, что вторая книга нового издания. Интересующее нас событие А состоит в том, что обе книги нового издания. А=А1*А2: Р(А)=Р(А1)*Р(А2|А1)=1/2*2/5=0,2
Пример2: имеется N изделий, из которых n – сертифицированных. Случайно выбираются аудитором М изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных будет ровно m сертифицированных изделий. (n<N), (M<N), (m<M), (m<n).
Пусть проводится ряд однотипных опытов, в каждом из которых может наступить некоторое событие А. Опыты называются независимыми относительно события А, если вероятность наступления этого события не меняется в ходе проведения опытов. Обозначение Р(А) = р, Р(Ā) = 1-р = q.
Обозначим Рn,m вероятность того, что в серии n опытов событие А наступит ровно m раз. (m≤n).
Значение Рn,m может быть вычислено по формуле Бернулли:
Формула Бернулли представляет точное значение вероятности, однако, при больших значениях n и m практическое применение данной формулы вызывает большие сложности. Существуют простые обобщения данной формулы, дающие приближенное значение искомой вероятности.
Задача: в каждом из опытов может наступить событие А Найти вероятность того, что событие А наступит m-тый раз. Ответ: Р=рС(m-1)(n-1)р(m-1)q(n-m) – см. тетр.
Случайные величины.
Случайная величина – функция, которая принимает свои значения в зависимости от результатов некоторого опыта. Обозначение X, Y, Z.
Исчерпывающей характеристикой любой случайной величины является её функция распределения. Обычно обозначается F(x).
Функция распределения F(x) случайной величины X определяется равенством:
Общие свойства функции распределения:
1 D(f)=(-∞;∞+)
2 0≤F(x)≤1
3 F(x) монотонна и не убывает
4 Функция распределения непрерывна слева
5 limF(x)=F(x0), x -> x0-0
6 P(a≤X-b) = F(a)-F(b)
Пример: построим функцию распределения для случайной величины х, равной 1 при выпадении орла и 0 при выпадении решки при однократном бросании монеты.
limF(x)=1
limF(x)=0
Существуют два основных класса случайных величин: дискретные и непрерывные.
Случайная величина называется дискретной, если она принимает конечное число значений или бесконечное число изолированных, отделенных друг от друга значений.
Дискретная случайная величина может быть задана рядом распределения, содержащим все значения, принимаемые случайной величиной и вероятности с которыми эти значения принимаются.
Вид рядов распределения:
X | x1, x2,…,xn |
P | p1, p2,…,pn |
Сумма вероятностей из ряда распределения равна единице.
P1+P2+….+Pn=1
Пример: построим ряд распределения случайно величины равной числу гербов, выпадающих при двукратном бросании монеты.
Х 0 1 2
0 ¼ ½ ¼
Случайная величина называется непрерывной, если её функция распределения во всех точках прямой, кроме конечного числа непрерывна и имеет непрерывную производную (функция распределения непрерывна везде).
Производная функции распределения – плотность распределения, обозначается f(x):
f(x)=F’(x)
Основные свойства плотности распределения:
-∞
∫ f(x)dx=1
+∞
Геометрический смысл плотности:
S => P(a≤X≤b)
Каждая функция и плотность распределения обязательно относятся к некоторой случайной величине.
Пример: рассмотрим случайную величину, функция распределения которой определяется формулой:
0, x<0
F(x)= x, 0≤x≤1
x, x>1
Данная случайная величина является непрерывной. Функция F(x) в точках х=0 и х=1 производной не имеет, т.к. график функции имеет излом. Плотность имеет вид:
0, x<0
F(x)= 1, 0<x<1
0, x>1
D(f)=(-∞;0) ∩ (0;1) ∩ (1;+∞)
Данная функция распределения является частным случаем равномерного распределения случайной величины.
1)Математическое ожидание – является обобщением понятия среднего арифметического. Обозначение: М(Х).
Вычисляется по формулам:
1Для дискретных величин:
2Для непрерывных величин:
Размерность математического ожидания совпадает с размерностью самой случайной величины. Свойства математического ожидания:
1.М (const)=const
2.M(kx)=kM(x)
3.M(x+y)=M(x)+M(y)
4.Для независимых случайных величин:
M(xy)=M(x)*M(y)
2)Дисперсия – характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг математического ожидания.
Общая формула:
Более удобная для расчетов формула:
Для дискретных случайных величин:
Для непрерывных случайных величин:
Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины.
Свойства дисперсии:
1D(const)=0
2D(x)≥0
3D(Kx)=k2D(x)
4Для независимых случайных величин:
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
5 Среднеквадратическое отклонение – так же характеризует степень разброса и вычисляется по формуле:
Размерность среднеквадратического отклонения совпадает с размерностью случайной величины.
Для любой случайной величины, величина Х=Х-М(Х), называется центрированной величиной. Её математическое ожидание = 0.
Для любой случайной величины Х – величина называется нормированной случайной величиной. Её математическое ожидание = 0, а среднеквадратическое отклонение = 1.
4)Мода – наиболее вероятное значение случайной величины.
Мода может не существовать или быть определена неоднозначно.
5)Медиана – величина а, обладающая свойством Р(Х<a)=P(X>a).
6)Начальный момент порядка к
7)Центральный момент порядка к определяется выражением
Основные распределения случайной величины.
1)Дискретные случайные величины.
1.Биномиальное распределение имеет случайная величина, принимающая значения {0, 1, 2,...n} с вероятностями наступления тех событий, о которых говорится в формуле Бернулли , Р – параметр распределения.
Для биномиальной случайной величины Х:
2. Распределеие Пуассона имеет случайная величина, принимающая бесконечный ряд значений {0, 1, 2,...n} с вероятностями:
Для данной случайной величины:
D(X)=λ > 0 – параметр распределения.
Данный закон распределения иногда называется законом редких событий.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 33 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |