Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Пространственные операции симметрии

Эти операции можно разделить на несколько видов.

Повороты относительно заданной оси на определенный угол a, которые обозначаются символом С, с двумя индексами — верхним и нижним: верхний индекс служит для обозначения оси, вокруг которой осуществляется поворот (например, x, y, z и т.д.), нижний индекс указывает на величину угла поворота — он равен частному от деления 360 ° на угол поворота (например, для угла в 90 ° этот индекс будет равен 360/90 = 4). Так, символ C ₃^zозначает поворот вокруг оси z на 120 °. Здесь необходимо отметить, что угол считается положительным, если поворот производится против часовой стрелки (при взгляде с положительного конца оси поворота) и отрицательным при повороте по часовой стрелке. Символ операции поворота с отрицательным углом дополнительно отмечается верхней чертой. Так, например, символ `C ₃^zозначает поворот вокруг оси z на 120 ° по часовой стрелке, т.е. на угол –120 °.

Среди операций поворота выделяют один особый случай — когда угол поворота равен 0 (или кратен целому повороту на 360 °). Такая специальная операция называется единичной и обозначается символом Е без дополнительных индексов. При такой операции все части объекта полностью сохраняют свое относительное и абсолютное расположение в пространстве (можно сказать, что единичная операция означает просто отсутствие какой-либо операции).

Повороты с отражением. Каждая такая операция начинается с обычного поворота вокруг некоторой оси и заканчивается отражением в плоскости, перпендикулярной оси поворота. Такие операции обозначаются символом S с двумя индексами, имеющими тот же смысл, что и в случае простых поворотов. Среди поворотов с отражением принято выделять два особых случая. Во-первых, когда угол поворота равен 0, эта операция представляет собой обычное отражение в плоскости и обозначается символом s(т.е. S ₁ = s) с верхним индексом, указывающим на расположение плоскости отражения. Так, например, символ s ^хz означает операцию отражения в декартовой плоскости хz. Во-вторых, когда угол равен 180 °, операция называется инверсией и обозначается символом i (т.е. S ₂ = i) без дополнительных индексов. Инверсия представляет собой отражение объекта относительно некоторой выделенной точки — центра симметрии.

Перечисленные пять видов пространственных операций (E, C_n, S_n, s, i) исчерпывают все многообразие операций симметрии этого типа. (В некоторых книгах можно встретить термин “поворот с инверсией”, который обозначает операцию поворота с последующей инверсией. Однако, любой поворот с инверсией эквивалентен некоторому повороту с отражением и поэтому нет надобности одновременно использовать обе эти разновидности операций симметрии.)

Следует всегда различать операции симметрии и элементы симметрии. Если под операцией мы понимаем некоторую процедуру, типа поворота, отражения, инверсии и т.д., то элемент — это то, относительно чего выполняется данная процедура — ось, плоскость, центр и т.д. Операции и элементы не эквивалентны друг другу. Например, вокруг одной и той же оси иногда можно выполнить несколько различных поворотов (на разные углы).

Рассмотрим некоторые примеры. Возьмем молекулу воды и расположим ее в декартовой системе координат (рис.1).

Из рисунка легко видеть, что над молекулой воды можно произвести следующие операции симметрии: поворот на 180 ° вокруг оси z (безразлично, в каком направлении) — при этом атомы водорода поменяются местами и, кроме того, задние половины всех трех атомов поменяются местами с передними; отражение в плоскости xz, при котором атомы водорода поменяются местами и, кроме того, левые половины всех атомов поменяются местами с правыми; отражение в плоскости yz, в результате которого все три атома останутся на своих местах, но передние и задние половины всех трех атомов поменяются местами; единичная операция, при которой все атомы сохранят свое расположение и ориентацию в пространстве. В результате, мы можем полностью описать пространственную симметрию молекулы воды списком из четырех операций:

{ E, C ₂ ^z, s ^xz, s ^yz }

В качестве второго наглядного примера возьмем молекулу диимида.

В этом случае симметрия молекулы задается тоже четырьмя операциями. Две из них — единичная операция и поворот на 180 ° вокруг оси z, имеют тот же смысл, что и для молекулы воды. Кроме них, имеются еще две операции, которые для молекулы воды не являются операциями симметрии. Это отражение в горизонтальной плоскости xy, при котором все атомы сохраняют свое положение, но их верхние и нижние половины меняются местами, и инверсия, при которой происходит обмен пространственными положениями в парах одинаковых атомов (H Û H и N Û N). В результате, мы можем полностью описать пространственную симметрию молекулы диимида списком из четырех операций: { E, C ₂ ^z, s ^xy, i }.

Такие совокупности операций симметрии, характерных для какого-либо объекта, называются точечными группами симметрии (ТГС). Необходимо иметь в виду два существенных обстоятельства: 1) элементами группы являются операции симметрии (повороты, отражения и т.д.), а не элементы симметрии (оси, плоскости и т.д.); 2) группа — это не просто произвольная совокупность операций симметрии, так как элементы любой группы тесно взаимосвязаны, так что достаточно знания всего нескольких элементов, чтобы по ним можно было восстановить всю группу целиком (такие элементы называются генераторами группы).

Указание ТГС полностью определяет пространственную симметрию любого объекта конечных размеров. (Для бесконечных объектов, типа идеальной кристаллической решетки, возможны операции симметрии специального типа — трансляции. Соответственно, группы симметрии, включающие операции трансляции, называются пространственными.) ТГС имеют свою систему обозначений и определенную классификацию. Так, ТГС молекулы воды обозначается как С _{2 v}. Наличие символа С ₂ говорит, что в группе имеется операция поворота на 180°. Заметим, что указание на ось поворота отсутствует. Это связано с наличием соглашения о том, как нужно единообразно располагать объект в системе координат — главная (т.е. имеющая наибольший порядок) ось симметрии молекулы должна быть совмещена с осью z. Наличие индекса v говорит о наличии операции отражения в вертикально расположенной плоскости симметрии. Знания о наличии поворота С ₂и одного из отражений s _v достаточно, чтобы установить и наличие второго отражения в плоскости, перпендикулярной первой. Другими словами, операции, отраженные в обозначении группы, являются ее генераторами.

Перечислим некоторые типы ТГС.

Операции симметрии можно применять последовательно — одну за другой. Отличительная особенность именно операций симметрии заключается в том, что любая как угодно длинная последовательность операций приведет к результату, который может быть достигнут всего в одну стадию — путем применения только одной из операций симметрии, входящей в данную ТГС. Эту особенность принято записывать с помощью уравнений типа: s ^xz _*s ^yz = C ₂ ^z. Приведенное равенство означает, что проведение двух последовательных отражений (сначала в плоскости yz, а затем в плоскости хz) эквивалентно по своему результату повороту на 180 ° вокруг оси z. Такое выражение называют умножением операций симметрии или их композицией.

С помощью процедуры умножения можно строить произведения операции симметрии на себя, т.е. возводить ее в степень. Характерно то, что любая операция, возведенная в достаточно большую степень, даст в результате единичную операцию: (F) ⁿ = E. Число n называется порядком операции. Так, порядок любого поворота равен нижнему индексу, порядок любого отражения и инверсии равен 2, порядок единичной операции равен 1.

Нужно иметь в виду, что очередность расположения операций в процедуре их умножения (и очередность выполнения над объектом) может быть существенной. Для некоторых пар операций симметрии выполняется равенство: А * В = В * А, а для некоторых — нет. В первом случае операции А и В называются коммутирующими, а во втором — не коммутирующими. В большинстве ТГС встречаются как коммутирующие так и не коммутирующие между собой операции. Однако, существует небольшое число групп, содержащих только коммутирующие элементы. Такие группы относятся к типу коммутативных (или абелевых) групп.