Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Линейные операторы

Рассмотрим такой частный случай умножения матриц, когда одна из матриц-сомножителей содержит всего один столбец (или одну строку):

В соответствии с правилами умножения, в данном случае результат умножения будет представлять собой также матрицу с одним столбцом. Очевидно, что такое умножение можно трактовать несколько иначе, а именно: как умножение матрицы на вектор-столбец. Заметим, что в результате снова получился вектор того же типа (столбец) и той же размерности. Такую операцию, обычно называют преобразованием вектора х в вектор у посредством матрицы А и записывают в виде следующего уравнения:

Матрица, преобразующая исходный вектор (вектор- прообраз) в конечный вектор (вектор- образ) называется специальным термином — линейный оператор. В более общем смысле, под оператором понимается любое правило преобразования однотипных объектов друг в друга, например, прибавление числа, умножение на число, возведение в степень, дифференцирование, интегрирование и т.д. Такое правило можно описать многими способами. Одним из таких способов является задание оператора посредством матрицы (совокупности чисел — матричных элементов). Поэтому матрицы часто называют также матричными представлениями операторов.

Рассмотрим в качестве наглядного примера операции симметрии. Будем трактовать эти операции как операторы, т.е. как правила преобразования объектов. Каждый такой оператор можно легко изобразить посредством квадратной матрицы — матричного представления операции симметрии.

Например, смысл единичной операции заключается в том, что все составные части объекта сохраняют свое положение. Пространственные координаты любой такой части можно задать в векторной форме:

Таким образом, матричным представлением единичной операции симметрии является единичная матрица.

Рассмотрим другую операцию — С ₂^z. Ее смысл заключается в повороте любого объекта вокруг оси z на половину полного оборота. Легко догадаться, что при этом происходит с координатами вектора: что координата z не изменяется вообще, а координаты x и у меняют свои знаки на противоположные. Чтобы достичь такого результата действием матрицы на вектор-столбец, необходимо, чтобы матрица имела следующий вид:

Аналогично, найдем матричные представления для операций отражения:

Между полученными матрицами существуют те же самые соотношения (связи) что и между операциями симметрии. Так, например, в группе симметрии С _{2 v} выполняется равенство: s ^хz * s ^yz = С ₂^z. Если мы заменим операции симметрии их матричными представлениями, то равенство не нарушится. Отсюда можно заключить, что для матриц-представлений можно построить точно такую же таблицу умножения, что и для операций симметрии. Эти таблицы отличаются только обозначениями. Другими словами, полученный нами набор из 4-х матриц-представлений является группой, устроенной идентично группе симметрии С _{2 v}. Мы получили две одинаковые (изоморфные) группы, которые можно рассматривать как два экземпляра одной и той же абстрактной группы, в которых мы придаем элементам этой абстрактной группы различный конкретный смысл. Такие конкретизированные группы называются представлениями абстрактных групп.Группы, элементами которых являются числовые матрицы называются матричными представлениями. Матричные представления ТГС играют очень важную роль в описании симметрии физических и химических объектов и имеют обширные практические приложения.