Читайте также:
|
|
Этот предел, если он существует, если он не зависит от способа разбиения интервала [a, b] на частичные и от выбора точек ξi, называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a, b].
Функцию f(x) называют в этом случае интегрируемой на [ a, b].
Sn – интегральная сумма.
Очевидно,
Теорема существования.
Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b], то она и интегрируема на этом промежутке.
Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть f(x) – непрерывна на [ a, b ], F(x) – первообразная, т.е. F′(x) = f(x).
Разобьем промежуток [ a, b ] на n произвольных частей.
F(b) – F(a) = F(x1) – F(x0) + F(x2) – F(x1) + F(x3) – F(x2) + … + F(xn) – F(xn-1) =
П р и м е р. Вычислить площадь, ограниченную одной аркой синусоиды и осью абсцисс.
y
y = sin x
0 π
Свойства определенного интеграла.
4. Для любых трех чисел a, b, c справедливо равенство
Геометрическая иллюстрация.
1. a < c < b. Sab = Sac + Scb 2. a < b < c. Sab = Sac - Sbc
5. Если f(x) > 0 и a < b, то
Если f(x) < 0 и a < b, то
Пусть f(x) > 0, a < b, F(x) – первообразная f(x), F′(x) = f(x) > 0, следовательно, F(x) возрастает, т.е. F(b) > F(a).
Эту теорему следует учитывать при вычислении площадей криволинейных трапеций.
1. f(x) ≥ 0.
f(x)
a b x
2. f(x) ≤ 0.
a b x
3.
4.
З а д а ч и.
Вычислить площадь, ограниченную кривыми.
1.
2. y = x2 – 1, x + y – 1 = 0.
y
x2 – 1 = 1 – x, x2 – x – 2 = 0
y = 1 - x
x1 = 1, x2 = -2.
-2 1 x
y = x2 - 1
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 30 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |