Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Тема 2. Условная вероятность. Независимость событий. Критерий независимости. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Читайте также:
  1. A. Когда необходимо рассчитать вероятность одновременного появления нескольких зависимых событий.
  2. А10. Закон самоіндукції, формула.
  3. А2. Формула закону електромагнітної індукції.
  4. Абсолютная погрешность (определение и формула)
  5. Алгебра событий.
  6. Алгоритм разветвляющейся структуры в полной форме
  7. Анализ устойчивости исходной системы по полной модели
  8. Балансы основных фондов по полной и остаточной стоимости
  9. Борьба западных адыгов за свою свободу и независимость на 2-м этапе Русско-Кавказской войны (1829-1859 гг.).
  10. Борьба западных адыгов за свою свободу и независимость на 2-м этапе Русско-Кавказской войны (1829-1859 гг.).

Условная вероятность события A при условии, что событие B уже произошло (P(B) > 0) называется величина P(A|B) = P(AB)/P(B). События независимые  P(AB) = P(A)P(B).

Если A, B независимы, то A,!B тоже независимы. P(A) = P(AB) + P(A!B)  P(A!B) = P(A) – P(AB). Расписать P(A)P(!B). ЧТД. Если два события независимы и несовместны - у одного из них 0вая вероятность (по определению). Пусть (Ω, F, P) – вероятностное пространство, B – любое событие с ненулевой вероятностью. Тогда (Ω, F, PB) – вероятностное пространство, PB(A) = P(A|B). Док-во: проверить три аксиомы вероятности. ЧТД, Пусть имеется конечное или счетное мн-во {An}. События An называются независимыми в совокупности, если для любого B Є {An}  P(&&<i: Ai Є B>Ai) = ∏<i=1, Ai Є B>P(Ai). Множество событий называется попарно независимым, если любые два элемента из него независимы.

Мн-во событий (конечное или счетное) Q = {Ei} называется разбиением пространства элементарных исходов Ω, если события из Q попарно несовместны, имеют ненулевые вероятности и U(Ei) = Ω. Пусть Q – разбиение Ω, тогда для любого A Є Ω: P(A) = ΣP(Ei)P(A|Ei). Док-во по свойству конечной или счетной аддитивности.

Пусть Q – разбиение Ω, A – некоторое событие, P(A) > 0. Тогда для любого i: Ei Є Q P(Ei|A) = P(Ei)P(A|Ei)/(Σ<i:EiЄQ>P(Ei)P(A|Ei)). Док-во: P(Ei|A) = P(EiA)/P(A) = ЧТД.

Вероятности P(Ei) в формуле Байеса – априорные, а P(Ei|A) – апостериорные.

Тема 3. Случайные величины. Измеримость функций от случайных величин.

Случайная величина ξ – действительная функция элементарного события ξ: Ω  R, обладающая свойством измеримости ξ^(-1)(B) = {w|ξ(w) Є |B} Є F. С помощью индикаторов случайную величину можно расписать в ряд. Распределение дискретной случайной величины X называется совокупность её значений x1, x2… с соответствующим набором вероятностей p1 = P(X = x1)….

Тема 4. Функция распределения, ее свойства. Дискретные, сингулярные и абсолютно непрерывные функции распределения и случайные величины. Плотность распределения. Теорема Лебега о разложении функции распределения.

Распределением случайной величины ξ называется функция Pξ(B) = P(ξ Є B) определенная для любого B Є |B. Если случайная величина имеет распределение Pξ – то она распределена по закону Pξ. Между случайными величинами могут быть определены 3 типа равенства: 1) тождественное равенство p(w) = q(w) 2) по вероятности(почти наверное) P{w|n(w) = q(w)}= 1. 3) Равенство по распределению. Для любого борелевского множества Pn(B) = Po(B). Функция распределения: Fξ(x) = Pξ((-inf, x)). Функция распределения случайной величины взаимно однозначно определяет распределение случайной величины (Док-во…) Функция распределения всегда неубывающая (через аддитивности). Функция распределения непрерывна слева. Док-во: Функция монотонна, те если построить хоть одну сходящуюс последовательность, то по всем сойдется (по Гейне вообщем). Строим невозрастающую последовательность {x – 1/n}, по свойствам вероятности получаем. ЧТД. Функция распределения имеет пределы на бесконечностях, на + 1, на – 0. (строить мн-ва [-inf, n), [-n, inf) для второй рассматривать предел 1-Pn). Функция распределения однозначно определяет рапспределение (P(-inf, a) = F(a), P(a, inf) = 1 – F(a), P([a, b)) = F(b) – F(a),…). Случайная величина называется дискретной, если существует не более чем счетное мн-во B, Pξ(B) = 1. Такое распределение тоже называют дискретным. Распределение случайной величины удобно записывать в виде ряда. Случайная величина называется вырожденной, если Pξ(a) = 1. Пусть задано некоторое измеримое пространство (S, H) и полная мера на нем. Мера называется полной, если все подмножества множества 0й меры являются элементами H (мера отличается от вероятности только отсутствием условия нормированности). Рассмотрим функцию g, определенную на S, принимающую не более чем счетное множество значений g(s) = yn, yn ≠ yk, n ≠ k, s Є Sn, Sn Є H, U<n=1, inf>Sn = S. Функция суммируема по Лебегу, если Σ<n=1, inf>ynm(Sn) сходится абсолютно, а сумма этого ряда – интеграл Лебега и обозначается $<S>gdm или $<S>g(s)m(ds). Функция называется суммируемой по Лебегу, если существует {gn}, lim<ninf>gn = f(s) и lim<ninf>$<S>gndm = I – интеграл Лебега. Распределение случайной величины называется абсолютно непрерывным, если существует такая неотрицательная функция f(x), что для любого борелевского множества Pξ(B) = $<B>f(x)dx, при этом f(x) – плотность распределения этой случайной величины. Очевидным образом Fξ(x) = $<-inf, x>f(u)du. Распределение называется распределением сингулярного типа, если соответствующая функция распределения является непрерывной, но множество точек роста данной функции имеет меру Лебега 0. Точка называется точкой роста F(x), если для достаточно малой окрестности выполнено неравенство F(x – eps) < F(x + eps). Fξ(x) – непрерывная функция, dF(x)/dx = 0 почти всюду F(inf) – F(-inf) =1. Т Лебега: Любая функция распределения может быть представлена в виде F(x) = p1F1(x) + p2F2(x) + p3F3(x), где pi >= 0, i = 1, 2, 3, p1 + p2 + p3 = 1, а функции – являются функциями распределения абсолютно непрерывного, сингулярного и дискретного соответственно. Если все pi ≠ 0, то это представление единственно. Док-во: число точек разрыва не более чем счетно. Если нет точек разрыва, то p3=0 и сразу ко второму этапу. Первый этап: пусть точки разрыва x1,…, xn,… hi = Fξ(xi+0) – Fξ(xi). Введем Fd1 = {0, x<=x1, h1, x1<=x<=x2<…}, Она не убывает и непрерывна слева. Если Σ<i=1, inf>hi = 1, то Fd1 = F, p1=p2 = 0. Иначе Σ<i=1, inf>hi = a < 1. Тогда определим Fd = 1/aFd1. Тогда Fc = (Fξ(x) – Fd1(x))/(1-a) – непрерывная функция распределения. Таким образом разложили Fξ на дискретную и непрерывную части Fξ(x) = aFd(x) + (1-a)Fc(x).

Тема 5. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, моменты, квантили, медиана. Их свойства.

Математическим ожиданием случайной величины называется Eξ = $<Ω>ξ(w)P(dw). Если этот интеграл расходится, то говорят, что мат ожидания не существует. Пусть функции f(x), u(x) определены и ограничены на [a, b]. a= x0<x1…<xn= b, xi-1 < yi < xi, тогда

σ = Σ<i=1, n>f(yi)(u(xi)-u(xi-1) – интегральная сумма Стилтьеса. Если существует их конечный предел при стремлении max|xi – xi-1|  0 равный I, то этот предел называется интегралом Стилтьеса и обозначается $<a, b>f(x)du(x). При этом говорят, что f(x) интегрируема на [a, b] по u(x). Математическим ожиданием называется Eξ = $<-inf, inf>xdFξ(x). Если он расходится – мат ожидания не существует. Через площади можно показать, что $xdFξ(x) = -$<-inf, 0>Fξ(x)dx + $<0, inf>(1-Fξ(x))dx. Мат ожидание является характеристикой распределения, а не самой случайной величины (те равенство мат ожиданий следует из равенства по распределению). Для дискретной случайной величины Eξ = Σ<i>xipi. Если абсолютно непрерывна, то Eξ = $xf(x)dx. Св-ва: E(a + bξ) = a + bEξ; E(ξ + η) = Eξ + Eη (если любые 2 из равенства существуют); P(a <= ξ <= b) = 1  a <= Eξ <= b; |Eξ| = E|ξ|; ξ >= 0, Eξ = 0  ξ (п.н.)= 0; P(A) = EIA (мат ожидание индикатора); если ξ и η независимы, то Eξη = EξEη. Моментом k-ого порядка случайной величины ξ называется E(ξ^k). Центральным моментом случайной величины ξ порядка k называется E((ξ – E(ξ)^k). Центральный момент первого порядка равен 0. Утв если существует момент порядка n, то существуют все моменты меньшего порядка. (Оценка |ξ|^k < |ξ|^n + 1).

Тема 6. Числовые характеристики случайных величин: дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции. Их свойства.

Дисперсией случайной величины называется её центральный момент второго порядка. Дисперсия константы равна 0 (DC = E((C – EC)^2) = E(C^2) – 2E(CEC) + E((EC)^2) = E(C^2)– 2E(C^2) + E(C^2) = 0). Изменение случайной величины на константу не меняет её дисперсию (D(X + C) = E((X+C – E(X+C))^2) = E(X – EX + C- EC)^2 = E(X-EX)^2 = DX). Константа выносится из-под знака дисперсии с квадратом (просто расписываем). DX >= 0. Пусть X, Y – две независимые случайные величины, тогда если существуют их дисперсии, то существет дисперсия их суммы, причем D(X + Y) = DX + DY (D(X+Y) = E((X-EX)^2 + (Y-EY)^2 + 2E(X-EX)(Y-EY)) через независимость DX + DY + 2E(X-EX)E(Y-EY) = DX + DY). Аддитивность можно обобщить по индукции. Среднеквадратичное отклонение – квадратный корень из дисперсии. Пусть заданы две случайные величины X, Y. Ковариацией называется cov(X, Y) = E((X-EX)(Y-EY)) = EXY – EXEY. Ковариация не меняется при изменении величин на константы (из второго вида формулы). Ковариация независимых величин равна 0. Дисперсия суммы двух величин в общем случае D(X+Y) = DX + DY + 2cov(X, Y). cov(CX, Y) = Ccov(X, Y). Коэффициент корреляции – p(X, Y) = cov(X, Y)/sqrt(DXDY). Коэффициент корреляции независимых величин равен 0. Для любых двух случайных величин коэффициент корреляции по модулю меньше 1. Док-во: Xc = X – EX, Yc = Y – EY. DXc = E(Xc^2), D(Yc) = E(Yc^2). cov(X,Y) = cov(Xc, Yc) = E(XcYc). Для любого вещественного a: 0 <= D(Xc – aYc) = E(Xc-aYc)^2 – ((E(Xc-aYc))^2) = E(Xc – aYc)^2. Рассматриваем как квадратное относительно a, дискриминант меньше или равен 0, получаем ЧТД. Если |p(X, Y)| = 1, то с вероятностью один случайные величины выражаются друг через друга (в предыдущем док-ве очевидно получится). Случайные величины называются некореллированными, если для них существует коэффициент корреляции и он равен 0.




Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 47 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав