Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вопрос 6.Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.

ОПР: Вероятность событий в., вычисленная при условии, что событие А произошло называется УСЛОВНОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ события В и определяется равенством

P(B/A)=P(BA)/P(A), где P(A)≠0

Из определения следует P(AB)= P(A)xP(B/A). Равенство называется теоремой умножения.

Равенство позволяет решать задачи причем оно справедливо не только для 2-х, а и для n событий. В этом случае P(A1A2…An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1)

ОПР Событие В называется независимым от события А, если условная вероятность P(B/A)=P(B)

Можно показать, что если независимые события В и А независимы(В не зависит от А), то А не зависит от В. А не зависит от В и В^-, В не зависит от А и А^-

Для независимых событий теорема умножения примет вид: P(AB)=P(A)P(B)

ОПР: Несколько событий назывкается независимыми в сов-ти, если независимы попарно любые 2 из них и независимы каждые совытия и всевозможные произведения остальных

Теорема: Если событие А1 А2 …Аn независимы в сов-ти то P(A1A2…An=P(A1)P(A2)…P(An)

Вопрос 7 Вероятность появления хотя бы одного из n событий, независимых в совокупности.

Вероятность появления хотя бы одного из n событий, независимых в совокупности равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р()=1- , (7), где - вероятность противоположного события

Доказательство: Т.к. событие и противоположны, то SI их вер-тей равна 1 Р()=1- Р()=1- .

Следствие: Если события имеют равные вер-ти q()=q, то вер-ть наступления хотя бы одного из них: Р()=1- (8)

Вопрос 8 Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность наступления только одного, хотя бы одного события

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (9)

А+В= +АВ+ В-несовместимы

Р(А+В)=Р(А )+Р(АВ)+Р( В) (*)

Очевидно, что А= А +АВ

Р( В)=Р(А)-Р(АВ) (**)

В= В+АВ

Р( В)=Р(В)-Р(АВ) (***)

(**) и (***) подставим в (*)

Р(А+В)=Р(А)-Р(АВ)+Р(АВ)+Р(В)-Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Вопрос 9 Формула полной вероятности и формула Байеса

Если события образуют полную группу, то для вычисление вероятности произвольного события А можно использовать формулу полной вероятности

Р{A}=P{A|H1}P{H1}+ P{A|H2}P{H2}+…+ P{A|Hn}P{Hn}= S P{A|Hi}P{Hi}

в соответствии с которой вероятность наступления события А может быть представлена как сумму произведений условных вероятностей события А при наступлении событий Нi на безусловные вероятности этих событий Нi. Поскольку среди событий , образующих полную группу, в результате опыта должно наступить одно и только одно, эти события Аi называют гипотезами (). Формула полной вероятности остается справедливой и в случае, если условие состоящее в том, что события образуют полную группу, заменить более слабым: гипотезы () попарно несовместимы (, ), а их объединение содержит событие А().

Из формулы полной вероятности следует формула Байеса

Вероятности гипотезы называют априорными вероятностями (вероятностями гипотез до проведения опыта) в отличие от апостериорных вероятностей (вероятностей гипотез уточненных в результате опыта исходом которого стало событие А)

Вопрос 10 Понятие дискретной случайной величины и ее з-на распределения. Многоугольник распределения.

СВ называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Например, число бросаний монеты до появления герба или число выпавших очков при бросании игрального кубика.

Для полного задания СВ необходимо указать множество ее возможных значений и определить некоторое соответствие между отдельными ее значениями x_i (или некоторыми подмножествами) и вероятностями p_i, с которыми эти значения (или подмножества) принимаются. для СВДТ достаточно указать зависимость p_i = P{X = x_i} или таблицу.Так же ставят в соответствие вероятности не отдельные значения СВ, а множество значений (X < x), где x – произвольное число

Вопрос 11. Функцией распределения (ФР) (или интегральным законом распределения) СВ X называется числовая функция F(x) = P{X < x}, определенная для любых x Î R. Свойства ФР:

1. 0 £ F(x) £ 1;

2. F(x₁) £ F(x₂), если x₁ < x₂, т.е. F(x) - неубывающая функция;

3.

4. P{a £ X < b} = F(a) - F(b).

Вопрос 12. Математическим ожиданием (средним значением по распределению) называется действительное число, определяемое в зависимости от типа СВ Х формулой:

m_X = M[X] =

Математическое ожидание существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части формулы сходится абсолютно. Если m_X = 0, то СВ Х называется центрированной (обозначается ).

Свойства математического ожидания:

1. M[C] = C, где С - константа;

2. M[C×X] = C×M[X];

3. M[X+Y] = M[X]+M[Y], для любых СВ X и Y;

4. M[X×Y] = M[X]×M[Y] + K_XY, где K_XY = M[ ] - ковариация СВ X и Y.

Вопрос 13. Различают СВ дискретного типа (сокращенно СВДТ) и СВ непрерывного типа (сокращенно СВНТ). СВ называется СВДТ, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Например, число бросаний монеты до появления герба или число выпавших очков при бросании игрального кубика. СВ называется СВНТ, если множество ее возможных значений заполняют интервал числовой оси. Например, время до отказа прибора (время “жизни” прибора) или погрешность измерения.

Для полного задания СВ необходимо указать множество ее возможных значений и определить некоторое соответствие между отдельными ее значениями x_i (или некоторыми подмножествами) и вероятностями p_i, с которыми эти значения (или подмножества) принимаются. Любое такое соответствие называется законом распределения СВ. Например, для СВДТ достаточно указать зависимость p_i = P{X = x_i} или таблицу следующего вида:

Для СВНТ такие способы не годятся, поэтому ставят в соответствие вероятности не отдельные значения СВ, а множество значений (X < x), где x - произвольное число. Этот способ годится для СВДТ и для СВНТ.