Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вопрос 28. Если случ вел Х имеет М(х) и r(x), то для любого

Неравенство Чебышева

Если случ вел Х имеет М(х) и r(x), то для любого

e>0 справедливо рав-во

P(|x-M(x)|< e) 1-(r(x))/ e^2 (3)

Нер-во |x-M(x)|<e<=>(x-M(x))^2< e^2 y=(x-M(x))^2

y 0-новая случ. вел-на. M(y)=M(x-M(x))^2=r(x), применяя к у нер-во(1) для a= e^2, получаем

Р(У< e^2) 1-(r(x))/ e^2. Но нер-во y< e^2<=>|x-M(x)|<e,то сразу получаем нер-во (3).

Поскольку соб-е |х-М(х)| e противоположно соб-ю |x-M(x)|<e, то P(|x-M(x)| e) (r(x))/ e^2 (4)

Нер-ва (3) и (4) служат для решения задач о Р отклониния сл. вел-ны с несущественным з-ном распред-я и известными М(Х) и r(x)

Первое неравенство Чебышева. Если СВ X ³ 0 имеет конечное значение m = M[X], то для любого e > 0 справедливо:

P{X ³ e} £ m/e или P{X < e} > 1 - m/e.

Для наглядности проведем доказательство для СВНТ X с ПР f(x), хотя это остается справедливым и для СВДТ. Так как

Тогда P{X ³ e} £ m/e, что и требовалось показать.

Второе (основное) неравенство Чебышева. Если СВ X имеет конечные значения m = M[X] и s² = D[X], то для любого e > 0 справедливо:

P{ôX - mô ³ e} £ s²/e² или P{ôX - mô < e} > 1 - s²/e².