Читайте также:
|
|
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:
,
если , то уравнение однородное.
Решение уравнения можно находить различными методами. Рассмотрим один из них, в котором решение ищем в виде (метод Бернулли). Подставляя в уравнение значения и , получим или . Находим какое-либо частное решение уравнения . Тогда функция является решением уравнения , где уже найдено.
Итак, решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными. Например, решить уравнение:
.
Пусть , тогда . Подставляя и у’ в уравнение, получим:
,
,
.
Приравняем к нулю выражение в скобках, найдем функцию v:
,
,
.
Интегрируем полученное выражение:
,
,
откуда v = x. Подставив v в уравнение , находим u:
,
,
.
Интегрируя, получаем:
.
Тогда решение исходного уравнения имеет вид:
.
Контрольные вопросы
1. Что называется дифференциальным уравнением?
2. Что такое общее решение дифференциального уравнения?
3. Что такое задача Коши для дифференциального уравнения?
4. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными и как оно решается?
5. Как можно найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка?
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 19 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |