Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Основные сведения о дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,

где и – действительные числа, – некоторая функция.

Если , то уравнение называется однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, в противном случае, если , неоднородным.

Пусть и два частных решения уравнения . Покажем, что линейная комбинация является решением этого уравнения. В самом деле, подставив эту комбинацию в уравнение, получим:

.

Это свойство частных решений позволяет из двух известных частных решений комбинировать общее решение, но при этом надо брать только линейно независимые частные решения.

Итак, общее решение уравнения имеет вид

,

где и – линейно независимые частные решения. В этом состоит содержание теоремы о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.