Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

с постоянными коэффициентами

Рассмотрим примеры решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид:

.

Его корни и . Общее решение уравнения имеет вид:

.

Пример 2. Решить уравнение и найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , и .

Решение. Характеристическое уравнение:

имеет равные корни , поэтому общее решение будет иметь вид:

.

Выделим из общего решения искомое частное. Для этого подставим начальные данные , в общее решение: , откуда .

Дифференцируя общее решение, получим:

, .

В полученное выражение подставляем начальные данные , , найдем, что . Учитывая, что , получим .

Таким образом, искомое частное решение будет иметь вид: .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение

имеет равные корни . Здесь , а , поэтому общее решение будет иметь вид:

.

Контрольные вопросы

1. Какой вид имеет линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами?

2. Какова структура общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?

3. Как находится общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?

4. Как находится частное решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?