Читайте также:
|
Пусть дана некоторая бесконечная последовательность чисел 
. Сумма всех этих чисел a 1 + a 2 + a 3 … + an + … называется числовым рядом или просто рядом. Числа 
называются членами ряда, член 
– общим членом ряда. Кратко числовой ряд записывают с помощью знака суммы 
, так: 
.
Сумма нескольких первых подряд членов ряда называется частичной суммой. Они обозначаются следующим образом:
.
Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится к какому-нибудь числу 
, которое называется суммой ряда, то есть 
. Если последовательность частичных сумм расходится, то ряд называется расходящимся.
В качестве примера рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии с первым членом 
и знаменателем 
:
.
Если 
, то частичная сумма этого ряда находится по формуле:
.
Если 
, то для значений 
, и тогда получаем, что
,
то есть ряд будет сходиться. В случае если 
для значений 
и последовательность 
не имеет конечного предела, то есть ряд в этом случае будет расходиться.
Ряд 
называется гармоническим. Покажем, что этот ряд расходится. Для этого из последовательности его частичных сумм выделим суммы с номерами 
и сделаем их оценку:
,
,
.
Для любого 
получим:
и для значений 
. Поэтому последовательность не имеет конечного предела.
В экономике бесконечные ряды и их суммы применяются, например, для решения следующей задачи. Владелец бессрочной облигации номиналом 1000 рублей каждый год получает 30 рублей. Определить истинную цену всей этой бесконечной последовательности платежей, если инфляция составляет 2% в год.
С учетом инфляции через год полученные 30 рублей сейчас будут эквивалентны 
рублям, через два года 
рублям и так далее. В итоге получаем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 33 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |